Cтраница 3
Рассмотрим левостороннее разложение группы Q по подгруппе А. Пусть оно состоит из j классов; число j называется индексом подгруппы А в группе О. [31]
Для каждой подгруппы g группы & можно найти поле Д, которое находится с подгруппой j в только что описанной связи. Порядок подгруппы д равен степени поля S над полем Д; индекс подгруппы g в группе ( равен степени поля А над полем К. [32]
Для каждой подгруппы д группы & можно найти поле Д, которое находится с подгруппой д в только что описанной связи. Порядок подгруппы д равен степени поля 2 над полем Д; индекс подгруппы д в группе ( i) равен степени поля Д над полем К. [33]
Вышеприведенный метод позволяет находить подгруппы данного конечного индекса за конечное число шагов и может быть реализован на компьютере. Он может быть модифицирован в метод проб и ошибок для нахождения индекса подгруппы, порожденной конечным набором элементов, и получения ее представления в случае, если индекс конечен. Однако неясно, сколько шагов необходимо для определения индекса. [34]
Блоки приборов входят в подгруппу Я. Их обозначение состоит из обозначения вида, к которому относится блок подгруппы Я, с добавлением индекса подгруппы по выполняемой функции. [35]
Пусть Н - не инвариантная, отличная от своего нормализатора, сильно изолированная подгруппа. Обозначим через t порядок дополнительного множителя группы Фробениуса N ( Н), а через т - индекс подгруппы N ( Н) в группе G. Группа G содержит точно гт инволюций. Так как подгруппа N ( Н) пересекается с сопряженными подгруппами по подгруппам, содержащимся в дополнительных множителях группы Фробениуса N ( Н), то каждый смежный класс группы G по N ( Н) содержит не более t инволюций. [36]
At, но не содержит степеней элемента а. Если же A lf Ai - l Ai, то, так как любая подгруппа бесконечной циклической группы имеет конечный индекс, индекс подгруппы M1f ] Ai l в группе Л также конечен. [37]
В частности, рассмотрим случай, когда Н - силовская р-подгруппа в G. Тогда одна из орбит относительно Н содержит ровно один элемент ( сама Я), а все другие орбиты имеют более одного элемента; в действительности порядки этих орбит делятся на р, поскольку они равны индексам собственных подгрупп в Я. [38]
Так как нормализатор NG ( M) строго содержит М, имеем / VG ( / VI) G или М ] G. Поэтому индекс подгруппы Ж прост, а производная группа О содержится в М, так как фактор-группа G / M абелева. [39]
Рассмотрим планарную сеть Е, группу G, действующую на Е, и подгруппу Я группы G. Если все элементы G сохраняют ориентацию, то это же имеет места для всех элементов подгруппы Я. Если индекс подгруппы конечен, и G имеет компактную фундаментальную область, то то же верно и для Я. [40]
Наименования подгрупп, их индексы и применяемость даны в разделе Указатель подгрупп. Применяемость подгрупп также указана в левом нижнем углу каждой иллюстрации. В нижнем правом углу иллюстрации дан индекс подгруппы. [41]
G ( в частности, делителем порядка G) и не превосходит индекса абелевых подгрупп в G. [42]
Кообъем covol выражается через кообъем пересечения целочисленной решетки с гиперплоскостью Н и через индекс нашей решетки в этой целочисленной решетке. Решетки являются группами; индекс одной решетки в другой - это то же самое, что индекс подгруппы в группе. [43]
Пусть подгруппа Л X Р не изолирована в группе G. Так как подгруппа А X Р плотная, то она содержится в некоторой изолированной подгруппе. Обозначим через L изолятор подгруппы А ХР. Очевидно, индекс подгруппы L в группе G прост ( равен), и, следовательно, группа G расщепляема. [44]
Предположим теперь, что N - нормальная подгруппа конечного индекса в А, содержащаяся в F. Тогда факторгруппа F / N конечна, поэтому существует главный ряд конечной группы A / N, содержащий F / N в качестве одного из своих членов. Главные факторы, содержащиеся в F / N, централизуются группой FIN и, значит, центральны в F / N. Таким образом, группа F / N обладает центральным рядом, следовательно, она нилыютентна; по предположению относительно А ее класс не выше с. Так как экспонента группы F / N делит е и число ее образующих не больше числа образующих F, порядок группы F / N ограничен некоторым числом, не зависящим от N. Как и прежде, число нормальных подгрупп ограниченного индекса в конечно порожденной группе конечно, так что существует лишь конечное число таких нормальных подгрупп N группы А, содержащихся в F. Если М - произвольная нормальная подгруппа конечного индекса в А, то ее пересечение с F является одной из этих уже рассмотренных подгрупп / V, следовательно, индекс подгруппы М в А также ограничен, поэтому группа Л обладает лишь конечным числом подгрупп конечного шыесса. Пусть G - их пересечение; тогда подгруппа G имеет в А конечный индекс, значит, конечно порождена. Нейман; доказательство этого результата в его естественном более общем виде см. Кон, Универсальная алгебра, стр. G нетривиальна, то она обладает собственными подгруппами, максимальными относительно свойства быть нормальной в А. Пусь L - одна из них; по построению G подгруппа L имеет в А бесконечный индекс, значит, G / L - бесконечный главный фактор группы А, что невозможно. [45]