Cтраница 1
Свободные индексы в тензорных равенствах можно перемещать ( вверх или вниз), но обязательно одновременно во всех членах уравнения. Приравнивание же контра - и ковариантных компонент различных тензоров незаконно; такое равенство, даже если бы оно случайно имело место в какой-либо системе отсчета, нарушилось бы при переходе к другой системе. [1]
Свободный индекс принимает поочередно одно из трех значений 1, 2, 3 и в обеих частях равенства обозначается какой-либо одной буквой, отличной от буквы, принятой для немого индекса. [2]
Напомним, что свободные индексы данного типа ( с точкой или без точки) должны быть полностью симметричны в неприводимом представлении. [3]
Линейные комбинации по этому свободному индексу фактически оставляют неизменными обсужденные здесь результаты. [4]
Свертыванием тензора по двум свободным индексам называется такая операция, когда два индекса обозначаются одной и той же буквой, вследствие чего они становятся индексами суммирования. В результате свертывания получается снова тензор ( свертка), порядок которого на две единицы меньше, чем у исходного. [5]
Если же под знаком суммы имеются свободные индексы, по которым нет суммирования, то такие же индексы ( соответственно верхние или нижние) ставятся у величины, полученной о результате суммирования. Соблюдение этих правил помогает определять законы преобразования величин, получаемых в результате суммирования. Вместе с тем эти правила заставляют, например, обозначать верхними индексами номера базисных ковариантных векторов. [6]
Очевидно, что один из двух свободных индексов в (2.6.3), а именно нижний, относится к номеру компоненты вектора энергии-импульса, получаемого при интегрировании (2.6.1), другой же - верхний индекс - необходим вследствие интегрирования по гиперповерхности 4-мерного мира. [7]
Аналогичный алгоритм используется и при управлении свободными индексами дескрипторами в массиве s - inode суперблока. Отличие состоит в том, что после исчерпания массива он дополняется путем линейного поиска свободных индексов дескрипторов в индексном файле, а не считыванием заранее подготовленных записей. Это оправданно, так как создание и удаление файла происходит гораздо реже, чем занятие и освобождение новых блоков файлов. [8]
Таким образом, уравнение с одним свободным индексом означает запись трех уравнений. [9]
Тензоры второго ранга обозначаются символами с двумя свободными индексами. [10]
Если в некотором слагаемом фигурирует какой-либо индекс единожды ( свободный индекс), то во всех других членах он также может встречаться только один раз. [11]
Логически продолжая вышеуказанную схему, тензор третьего ранга записывают символом с тремя свободными индексами. А символ, который не имеет связанного с ним индекса, такой, как, например, Я, изображает скаляр, или тензор нулевого ранга. [12]
Чтобы не нарушать единства в применении таблиц, библиотеки не должны присваивать свободным индексам рубрики по своему усмотрению. Их заполняют только при переиздании таблиц. [13]
Индекс / называется индексом суммирования или немым индексом, индекс i является свободным индексом. Индексы суммирования должны встречаться по два раза в каждом из суммируемых членов. При записи в виде таблицы г является номером строки, / - номером столбца. [14]
Аналогия формы (2.6.3) и соответствующей механической величины - гамильтониана - очевидна; однако наличие дзух свободных индексов требует специальной интерпретации, которую будет негрудно дать, а кроме того, необходимо выяснить, можно ли понимать переход от лагранжиана L к гамильтоновой плотности ( гамильтониану) t v в каком-либо смысле как преобразование Лежандра. [15]