Cтраница 3
В рассмотренном случае мы можем получить три различных ковариантных тензора второго ранга, выполнив операцию свертки на других ковариантных индексах. Заметим, что когда в результате свертки одной или большего числа пар индексов, свободных индексов уже не остается, получающаяся величина окажется скаляром. [31]
Аналогичный алгоритм используется и при управлении свободными индексами дескрипторами в массиве s - inode суперблока. Отличие состоит в том, что после исчерпания массива он дополняется путем линейного поиска свободных индексов дескрипторов в индексном файле, а не считыванием заранее подготовленных записей. Это оправданно, так как создание и удаление файла происходит гораздо реже, чем занятие и освобождение новых блоков файлов. [32]
Эти формулы поясняют различие между введенными мерами деформации. Далее в записях компонент используются декартовы координаты; поэтому в нарушение правил общей тензорной алгебры ( Приложение IV) свободные индексы в левой и правой частях формулы занимают различные положения, а суммирование проводится по индексам, расположенным на одной высоте. [33]
Отметим, что немой индекс при суммировании заменяется цифрами, поэтому немой индекс пропадает и его можно заменить любой буквой. Можно, например, заменить индекс k на п, но не i, так как i в данном случае принят в качестве свободного индекса. [34]
Если индекс употреблен дважды, то подразумевается, что этот индекс принимает все значения из своего интервала изменения и члены, соответствующие каждому значению индекса из этого набора, суммируются. В этом так называемом соглашении о суммировании повторяющиеся индексы часто называют немыми, так как их замена на любые другие буквы, не использованные в качестве свободных индексов, не меняет значения члена, в который они входят. Вообще говоря, в правильно написанном выражении ни один индекс не встречается более двух раз. Если для желаемого представления какой-либо величины совершенно необходимо использовать некоторый индекс более чем дважды, соглашение о суммировании употреблять не следует. [35]
Это и есть уравнение движения частицы в поле, записанное в четырехмерной форме. Опустим в обеих частях формулы (65.6) свободный индекс ц вниз. Кроме того, переместим одновременно немой индекс v при F v вниз, а при Uv вверх. [36]
По правилам индексных - обозначений буквенный индекс может встречаться в каждом члене од ин или два раза. Неповторяющиеся индексы называются свободными. Тензорный ранг данного члена равен числу свободных индексов в этом члене. Правильно написанные тензорные соотношения имеют одинаковые свободные индексы в каждом члене. [37]
Зто и есть уравнение движения частицы в поле, записанное в четырехмерной форме. Опустим в обеих частя, формулы (65.6) свободный индекс i вниз. Кроме того, переместим одновременно немой индекс v при / r - lv вниз, а при uv вверх. [38]
Буквенный индекс может встречаться у каждой компоненты только один ( at) или два ( аи) раза. Нса аторяющий я индекс называется свободным. Тензорный ранг данной компоненты равен числу ее свободных индексов. Если индекс повторяется дважды, он называется немым. Повторяющийся индекс означает, что он принимает все значения из своего интервала изменения и соответствующие этим значениям члены суммируются. [39]
Индексы бывают числовыми и буквенными. Здесь индекс i последовательно принимает значения 1, 2, 3 и называется свободным индексом. [40]
Придавая ему значения 1, 2, 3, получим в подробной записи (1.6), три формулы. Индекс / называется немым, или индексом суммирования. Его можно заменить на любой другой индекс ( Л, /, т, р, В) кроме i, поскольку i уже обозначает свободный индекс. Придавая индексу суммирования / значения 1, 2, 3, получим в подробной записи (1.6) в правой части каждой формулы по три слагаемых. [41]
По правилам индексных - обозначений буквенный индекс может встречаться в каждом члене од ин или два раза. Неповторяющиеся индексы называются свободными. Тензорный ранг данного члена равен числу свободных индексов в этом члене. Правильно написанные тензорные соотношения имеют одинаковые свободные индексы в каждом члене. [42]
Заметим, что название глухой) для индекса суммирования является, в известной степени, словесным выражением того факта, что этот индекс не реагирует на изменение обозначения. От этого, конечно, сумма не изменится: aixi - akxk. Это свойство глухого индекса является аналогом свойства переменной интегрирования под знаком определенного интеграла. Указанным свойством глухого индекса часто будем пользоваться, изменяя, в случае необходимости, в процессе выкладок обозначения глухих индексов, причем будем это делать без специальной оговорки. Однако надо твердо помнить, что в одной и той же матрице нельзя обозначать два разных глухих индекса одной и той же буквой или же буквой, которая уже использована в этой матрице для обозначения свободного индекса. [43]