Cтраница 2
Декарт ( 1596 - 1650) впервые применил метод координат к изучению геометрических вопросов. [16]
Необходимо отметить, что внимание математиков этого периода было привлечено к новым методам исследования геометрических вопросов. [17]
Но нужно признать, что лишь благодаря инициативе Лемуана появится общий интерес к такого рода геометрическим вопросам. На самом деле стали вычерчивать решения задач, начали устанавливать символы и определять степень простоты этих решений, возникло стремление получить наиболее простые построения. [18]
В настоящей работе мы хотим обратить внимание на то, что возникающий таким образом инвариант - высота поверхности TI КЗ - играет роль в интересном геометрическом вопросе о возможных вырождениях поверхностей типа КЗ. Пусть X / S - семейство поверхностей, база которого 5 является спектром одномерного Ье-гулярного локального кольца, а общий слой - поверхностью Tijna КЗ. [19]
В этом именно смысле следует оценивать то отношение к аналитической геометрии, которого мы придерживались при нашем обосновании, да и вообще мы принципиально пользовались средствами анализа, трактуя геометрические вопросы. [20]
Основные заслуги здесь принадлежат Огюстену Кош и ( 1789 - 1857) и Карлу 15 ей-ерштрассу ( 1815 - 1897), развившим интегральное исчисление и теорию представления функций рядами, а также Бернхарду Р и-ману ( 1826 - 1866), обосновавшему геометрические вопросы теории функций и их приложений. [21]
В современной математике употребляется термин наглядная геометрия. Мы относим к ней те геометрические вопросы и теоремы, которые имеют наглядный геометрический смысл. Формулировка таких теорем весьма элементарна, однако доказательство их может быть отнюдь не элементарным. [22]
Локально внутренняя и внешняя геометрии погружения многообразия обычно описываются соответственно с помощью первой и второй квадратичных форм. В связи с этим в геометрических вопросах погружение и поверхность не различаются. [23]
Иногда бывает нужно рассматривать не всю естественную область определения функции, а только некоторую ее часть. Областью определения данной функции при рассмотрении данного геометрического вопроса является бесконечный интервал 0 R оо. [24]
Предмет аналитической геометрии заключается в исследовании геометрических форм с помощью алгебраического анализа. В различных отделах элементарной математики алгебра прилагается к решению многих геометрических вопросов. Так, например, в геометрии с помощью чисел приходится определять длины отрезков и дуг, площади фигур, объемы тел; в тригонометрии пользуются числовыми соотношениями для установления зависимостей между углами и отношениями отрезков. Но, в то время как в этих отделах математики с помощью анализа решается вопрос о размерах геометрических форы, в аналитической геометрии с помощью чисел характеризуется самая существенная их особенность-их положение. [25]
Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел х, у. Прямоугольная система координат часто называется декартовой по имени французского философа и математика Декарта, широко применившего координаты к исследованию многих геометрических вопросов. [26]
Для того чтобы книга удовлетворяла своему назначению - быть учебником, она снабжена многочисленными задачами для упражнения, решение которых по большей части вкратце указывается. Часть учебного материала разбита по задачам, так что читатель, несмотря на умеренный объем книги, будет ориентирован во всех чисто геометрических вопросах, связанных с геометрическими построениями. [27]
Известны единообразные приемы, при помощи которых можно решать задачи, связанные с первой производной, п Гюйгенс подошел вплотную к разработке геометрических вопросов, связанных со второй производной. Известно, как сводить задачи па интегрирование к квадратурам; имеются различные приемы геометрического характера для того, чтобы сводить одни квадратуры к другим в том случае, если они неудачны, и при этом свободно обращаются к круговым п логарифмическим функциям; осознана связь между дифференцированием и интегрированием; началось изучение метода, обратного касательным - название, данное в то время задачам, сводящимся к дифференциальным уравнениям первого порядка. [28]
Введенные выше понятия о координатах точки М, об уравнении кривой и графике уравнения устанавливают тесную связь между алгеброй и геометрией. С одной стороны, мы получаем возможность наглядным геометрическим путем изображать и исследовать аналитические зависимости, с другой стороны, оказывается возможным сводить решение геометрических вопросов к чисто алгебраическим действиям, в чем и заключается основная задача аналитической геометрии, разработанной впервые Декартом. [29]
Прибавим к этому обзору теории преобразований прикосновения некоторые литературные сведения. Укажем еще раз на книгу Ли и Шеф-ферса о преобразованиях прикосновения ( Лейпциг, 1896), в которой подробно изложены многие из затронутых здесь геометрических вопросов. [30]