Cтраница 3
Окружность, сопряженная главной окружности эллиптической связки, называется фундаментальной окружностью этой связки, а окружность, сопряженная фундаментальной окружности гиперболической связки, называется главной окружностью связки. Для параболической связки, по определению, главная окружность совпадает с фундаментальной и является окружностью нулевого радиуса с центром в центре связки. [31]
Отсюда непосредственно следует, что прямые евклидова пространства имеют общую несобственную точку в том и только в том случае, когда они параллельны. Тем самым каждая связка параллельных прямых имеет своим центром вполне определенную несобственную точку, и обратно, каждая несобственная точка служит центром вполне определенной связки параллельных прямых. [32]
Переходя к скользящим векторам, Котельников вводит понятие связки и пучка векторов. Под связкой векторов ( Р, А) он подразумевает совокупность векторов, получаемую при сложении данного вектора IP со всевозможными векторами, проходящими через данную точку А - центр связки. Пучком векторов ( Р, /) он называет совокупность векторов, получаемую при сложении данного вектора Р со всевозможными векторами, которые лежат на данной прямой /, имеют произвольную длину и могут быть направлены по этой прямой в разные стороны, Прямая I представляет собой ось пучка, а точка ее пересечения с прямой действия вектора Р - центр пучка. [33]
Связкой окружностей называется множество всех окружностей плоскости, относительно которых данная точка О имеет одну и ту же степень. Точку О называют центром связки. Ясно, что центр связки является радикальным центром любой тройки окружностей из этой связки. [34]
Поскольку плоскости пересекаются в единственной точке, их нормальные векторы ие компланарны. Это означает, что уравнение ( 19), а вместе с ними ( 18), определяет плоскость. Эта плоскость проходит через центр связки. [35]
Поскольку плоскости пересекаются в единственной точке, их нормальные векторы не компланарны. Это означает, что уравнение ( 19), а вместе с ним и ( 18), определяет плоскость. Эта плоскость проходит через центр связки. [36]
Связкой плоскостей называют совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную точку, а также совокупность всех плоскостей, параллельных данной прямой. В первом случае точку, через которую проходят все плоскости связки, называют центром связки, а саму связку называют собственной. Во втором случае говорят, что центр связки лежит в бесконечности, и называют связку несобственной. [37]
Для центрального и параллельного проецирования характерна прямолинейность проецирующих линий. Проецирующие прямые в своей совокупности образуют множества, называемые связками. Общим для всех прямых, входящих в связку, является центр связки. [38]
Пучком плоскостей в расширенном пространстве называется множество всех плоскостей, содержащих данную прямую - центральную прямую пучка. Пучок называется собственным, когда эта прямая - собственная, и несобственным, когда эта прямая - несобственная. Аналогично, связкой плоскостей в расширенном пространстве называется множество всех плоскостей, содержащих данную точку - центр связки. [39]
Пополнение евклидовой плоскости несобственными элемен тами. Тогда каждой точке плоскости тс будет соответствовать одна вполне определенная прямая связки 5, а именно, прямая проходящая через центр связки и эту точку. Однако не всякой прямой связки S будет соответствовать в этом смысле точка плоскости тс, А именно, прямым связки, параллельным плоскости тс ( и только этим прямым), не будут в плоскости тс соответствовать никакие точки. [40]
По теореме задачи 289 пучок, определяемый этими кругами, принадлежит обеим связкам. Кроме кругов этого пучка, связки не могут иметь ни одного общего круга, потому что три круга, не принадлежащие одному пучку, вполне определяют связку, так что наши связки не могли бы в этом случае быть различны между собой. Итак, в этом случае теорема доказана. В случае же, если центры связок совпадают, общими кругами будут прямые, проходящие через их общий центр. Это уже указанный выше особый случай эллиптического пучка. Его можно получить как предельный, когда одна из двух общих точек кругов пучка удаляется в бесконечность. [41]
Центром пучка может быть как собственная, так и несобственная точка. Система параллельных прямых одной плоскости является пучком прямых с несобственным центром. Совокупность пересекающихся в одной точке прямых, не принадлежащих одной плоскости, называется связкой прямых, а точка их пересечения - центром связки. Центр связки может быть собственной или несобственной точкой. [42]
Центром пучка может быть как собственная, так и несобственная точка. Система параллельных прямых одной плоскости является пучком прямых с несобственным центром. Совокупность пересекающихся в одной точке прямых, не принадлежащих одной плоскости, называется связкой прямых, а точка их пересечения - центром связки. Центр связки может быть собственной или несобственной точкой. [43]
Рассмотрим теперь образование конуса второго порядка и пучка плоскостей второго порядка с точки зрения принципа двойственности. Как мы знаем, связка плоскостей и прямых есть форма, двойственная ( по принципу двойственности в пространстве) плоскому полю точек и прямых. Предположим, что на плоскости о имеется пучок прямых второго порядка. Прямые пучка образуют, как мы знаем, два проективных ряда точек на двух любых фиксированных прямых пучка. Согласно принципу двойственности проективным рядам точек, носители которых принадлежат плоскости ю, соответствуют два проективных пучка плоскостей, носители которых принадлежат точке Q - центру связки. Но, как мы видели, линии пересечения двух таких пучков образуют конус второго порядка. Итак, конус второго порядка есть геометрический образ, двойственный пучку прямых второго порядка. [44]