Cтраница 2
F, так и величины G удовлетворяют уравнениям периодической Лз - цепочки Тоды. При этом одна из этих систем уравнений редуцирована с помощью соотношений pn i pn i - t о до периодической С - цепочки Тоды. [16]
ТЕОРЕМА 3.1. Дополнение Ж с Ос является объединением подмногообразий меньшей размерности и поток суперизованной цепочки Тоды трансверсален к этим многообразиям. [17]
Цепочка Тоды, связанная с супералгеброй Ли ft ( И), во многом аналогична классической цепочке Тоды. [18]
Отсюда сразу следует, что как функции F, так и функции & по отдельности удовлетворяют уравнениям периодической цепочки Тоды. [19]
Здесь излагается схема гамильтоновой редукции ( [ sj), которая используется в § 3 для пополнения потоков обобщенных цепочек Тоды. В терминах редукции объясняется теорема I. Те из них, которые имеют структуру кокасатель-ного расслоения к К - орбите в V особенно интересны для механики. [20]
К сожалению, в этом случае не удается найти явные формулы, непосредственно выражающие функции С через функции F, аналогичные формулам (3.25) в случае непериодических Сп - цепочек Тоды. Система (3.30), (3.31) является преобразованием Беклунда, связывающим периодическую С - цепочку Тоды с этими уравнениями. Тоды не удается рассмотреть аналогичным образом. Если исходить из уравнений (3.1), (3.2), то на соответствующие функции 0 или их линейные комбинации с функциями р не удается получить самостоятельной замкнутой системы уравнений. Это согласуется с тем, что, как показано, в работе [4], изЛЬУ - пары (3.1), (3.2) для. В - цепочки Тоды можно получить только нелокальные интегралы движения, существование которых, вообще говоря, не свидетельствует об ее интегрируемости. [21]
Рассмотрим обобщенную цепочку Тоды с гамильтонианом (4.10), в котором коэффициенты г з или v равны нулю. [22]
Как было указано выше, непериодические цепочки Тоды, отвечающие алгебрам В, С, GJ, связываются преобразованиями Беклунда с непериодическими цепочками алгебр j4jn i, - Дзп-а, АЪ. Однако при более внимательном рассмотрении выясняется, что на эти новые цепочки Тоды наложены еще некоторые дополнительные соотношения типа законов сохранения. Они имеют следующее происхождение. Как известно, непериодические цепочки Тоды типа В, С, GJ получаются с помощью редукции из цепочек типа А. Соотношения, задающие редукцию исходных цепочек, задают и редукцию цепочек, связанных с ними преобразованиями Беклунда. Беклунда эти алгебраические соотношения превращаются в дифференциальные уравнения. Аналогичный факт наблюдается и при рассмотрении периодических Сп-цепочек Тоды. [23]
Правда, имеются и полностью интегрируемые дифференциально-разностные уравнения, которые можно получить, обобщив метод обратной задачи на уровне вспомогательной задачи рассеяния на дискретный случай. Хорошо известным примером такого рода является цепочка Тоды [12], для которой в соответствующем континуальном пределе задача сводится к уравнению Корте-вега - де Вриза. Но, как правило, подобные дискретные варианты с физической точки зрения не интересны, и необходимо дискретизовать непосредственно нелинейное волновое уравнение. [24]
II были введены числа Ковалевской: это - количество различных полных семейств мероморфных решений аналитических систем дифференциальных уравнений. Ниже числа Ковалевской будут найдены для одного класса гамильтоновых систем, обобщающих цепочки Тоды. Будет показано, что системы с максимально возможным числом Ковалевской вполне интегрируемы. Этот любопытный результат аналогичен классическому результату Ковалевской в динамике тяжелого твердого тела. [25]
Как и в теории алгебр Ли, такой функциональный подход оказывается эффективен не только для модулей Берда, но и для бесконечномерных представлений, не обладающих младшим ( старшим) вектором. Это было показано в [1,2] на примере волчка Горячева - Чаплыгина и цепочки Тоды, не наддававшимся решению посредством ААБ. [26]
К сожалению, в этом случае не удается найти явные формулы, непосредственно выражающие функции С через функции F, аналогичные формулам (3.25) в случае непериодических Сп - цепочек Тоды. Система (3.30), (3.31) является преобразованием Беклунда, связывающим периодическую С - цепочку Тоды с этими уравнениями. Тоды не удается рассмотреть аналогичным образом. Если исходить из уравнений (3.1), (3.2), то на соответствующие функции 0 или их линейные комбинации с функциями р не удается получить самостоятельной замкнутой системы уравнений. Это согласуется с тем, что, как показано, в работе [4], изЛЬУ - пары (3.1), (3.2) для. В - цепочки Тоды можно получить только нелокальные интегралы движения, существование которых, вообще говоря, не свидетельствует об ее интегрируемости. [27]
Понятие бигамильтоновой системы всплыло также недавно в работах по бесконечномерным га-мильтоновым системам, в которых семейства законов сохранения строятся с помощью подходящей рекурсивной процедуры; см. Hojman, Harleston [1] и Crampin [1], а также приведенные там ссылки. Однако единственный известный мне к настоящему времени содержательный пример бесконечномерной бигамильтоновой системы - это цепочка Тоды, которая исследована в статье Leo M. Однако для оператора 3) с постоянными коэффициентами это предположение можно отбросить; доказательство опирается на точность бесконечномерного обобщения комплекса, построенного в работе Lichnerowicz [1], основанного на скобке Схоутена. Гипотезу относительно более общей ситуации можно найти в статье Olver [10], а доказательство для случая постоянных коэффициентов - в моей готовящейся к выходу статье. [28]
Незамкнутая цепочка Тоды бшш, по-видимому, первой конечномерной системой, исследованной с помощью представления Лакса [ б 7, И, и первой системой, для которой все ранее известные результаты бнли полностью воспроизведены по схеме Адлера. Здесь обсуждаются различные системы, связанные с параболическим разложением алгебры Ли, в этом смысле обобщающие классическую цепочку Тоды. Как правило, эти системы неполны: в них имеются траектории, уходящие на бесконечность за конечное время. Предлагается канонический способ пополнения таких систем, основанный на гамильтоновой редукции и дающий одновременное пополнение потоков всех интегралов движения. [29]
Это означает, что функции w С. Функции П F - F / 1, в свою очередь, удовлетворяют уравнениям непериодической Л П - цепочки Тоды. Тоды в непериодическую 5П - цепочку Тоды, помимо этого они порождают и некоторую редукцию - Ajn-i - иепочки. Найдем соотношения, задающие эту редукцию. [30]