Cтраница 3
F, так и величины G удовлетворяют уравнениям периодической Лз - цепочки Тоды. При этом одна из этих систем уравнений редуцирована с помощью соотношений pn i pn i - t о до периодической С - цепочки Тоды. [31]
Примечательно, что, как и в случае цепочки Тоды [ 2J, квантовое выражение отличается от классического заменой Yr на операторы сдвига и упорядочением: налево, Yj - - - направо. Это позволяет надеяться, что и при М1 квантовое выражение будет столь же незначительно отличаться от классического, хотя для XVZ - магнетика ситуация более сложна, чем в случае цепочки Тоды, из-за того, что операторы сдвига Y - - могут входить в Т ( а) не только полиномиальным, но и, вообще говоря, рациональным образом. [32]
Рассмотрим для примера цепочку Тоды для 4 ( % Н), в случае, когда в системе простых корней только один корень нечетный. Рассмотрения в остальных случаях аналогичны, но более громоздки. [33]
Это означает, что функции w С. Функции П F - F / 1, в свою очередь, удовлетворяют уравнениям непериодической Л П - цепочки Тоды. Тоды в непериодическую 5П - цепочку Тоды, помимо этого они порождают и некоторую редукцию - Ajn-i - иепочки. Найдем соотношения, задающие эту редукцию. [34]
Как было указано выше, непериодические цепочки Тоды, отвечающие алгебрам В, С, GJ, связываются преобразованиями Беклунда с непериодическими цепочками алгебр j4jn i, - Дзп-а, АЪ. Однако при более внимательном рассмотрении выясняется, что на эти новые цепочки Тоды наложены еще некоторые дополнительные соотношения типа законов сохранения. Они имеют следующее происхождение. Как известно, непериодические цепочки Тоды типа В, С, GJ получаются с помощью редукции из цепочек типа А. Соотношения, задающие редукцию исходных цепочек, задают и редукцию цепочек, связанных с ними преобразованиями Беклунда. Беклунда эти алгебраические соотношения превращаются в дифференциальные уравнения. Аналогичный факт наблюдается и при рассмотрении периодических Сп-цепочек Тоды. [35]
Она описывает динамику N одинаковых материальных точек с одной степенью свободы каждая, соединенных по кругу, наподобие молекулы бензола, упругими связями с потенциалом еи - щ где и Qk - Qk - - i - разность координат связанных соседей. Положим V Vk Л ( dk - dk-i) - WV - пуассонова пара. Функция / 0, рассматриваемая как ТУ-гамильтониан, порождает систему уравнений цепочки Тоды. [36]
При этом приведенное многообразие содержит орбиту алгебры Oi0 в качестве открытого подмножества. Потоки биинвариантных гамильтонианов на Т & полны ( лемма 1.2), поэтому редуцированные потоки на приведенном многообразии также полны. Необходимо лишь проверить, что приведенное пространство действительно является гладким многообразием, что будет проделано в следующем пунк те для некоторых обобщенных цепочек Тоды. [37]
Изучаются алгебраические структуры, связанные с преобразованиями - Беклунда нелинейных дифференциальных уравнений. Дано изложение метода продолженных структур Уолквиста-Эстабрука и описаны его связи с преобразованиями Беклунда и F - G-парами интегрируемых уравнений. В качестве примеров рассмотрены уравнения Кортевега-де Вриза, Лиувилля и синус - Гордона. Разработаны преобразования Беклунда цепочек Тоды, имеющие непосредственную групповую интерпретацию. Подробно исследованы продолженные структуры уравнения Эрнста, показано, как с их помощью строятся его преобразования Беклунда. [38]
В случае периодических цепочек Тоды ситуация иная. Преобразования Бехлунда связывают периодическую Л - пепочку Тоды с ней же самой. Это позволяет найти для нее формулу суперпозиции. Аналогичные, но несколько более сложные результаты справедливы и для периодической С - цепочки Тоды. [39]
Как было указано выше, непериодические цепочки Тоды, отвечающие алгебрам В, С, GJ, связываются преобразованиями Беклунда с непериодическими цепочками алгебр j4jn i, - Дзп-а, АЪ. Однако при более внимательном рассмотрении выясняется, что на эти новые цепочки Тоды наложены еще некоторые дополнительные соотношения типа законов сохранения. Они имеют следующее происхождение. Как известно, непериодические цепочки Тоды типа В, С, GJ получаются с помощью редукции из цепочек типа А. Соотношения, задающие редукцию исходных цепочек, задают и редукцию цепочек, связанных с ними преобразованиями Беклунда. Беклунда эти алгебраические соотношения превращаются в дифференциальные уравнения. Аналогичный факт наблюдается и при рассмотрении периодических Сп-цепочек Тоды. [40]
Идеи, на которых основана предлагаемая здесь конструкция, появились и интенсивно развивались в течение последних пятнадцати лет. По существу, наша конструкция является геометрической интерпретацией схемы Адлера. К моменту ее возникновения уже был накоплен большой материал по конечномерным лаксовым представлениям. Некоторые задачи ( системы Калодаеро - Сазерленда [ l5 ] обобщенные цепочки Тоды [ 1б ]) были рассмотрены с точки зрения гамильтоно-врй редукции по группе симметрии. В нашей конструкции лаксово представление, гамильтонова редукция и спектральный параметр объединяются общей теоретико-групповой формулировкой. [41]
В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины F и С обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая-и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой алгебраической структурой. Так, в монографии [7] показано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца - Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работах [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредингера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению L - Л - пар или F - С-систем и позволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. [42]
К сожалению, в этом случае не удается найти явные формулы, непосредственно выражающие функции С через функции F, аналогичные формулам (3.25) в случае непериодических Сп - цепочек Тоды. Система (3.30), (3.31) является преобразованием Беклунда, связывающим периодическую С - цепочку Тоды с этими уравнениями. Тоды не удается рассмотреть аналогичным образом. Если исходить из уравнений (3.1), (3.2), то на соответствующие функции 0 или их линейные комбинации с функциями р не удается получить самостоятельной замкнутой системы уравнений. Это согласуется с тем, что, как показано, в работе [4], изЛЬУ - пары (3.1), (3.2) для. В - цепочки Тоды можно получить только нелокальные интегралы движения, существование которых, вообще говоря, не свидетельствует об ее интегрируемости. [43]
В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины F и С обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая-и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой алгебраической структурой. Так, в монографии [7] показано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца - Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работах [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредингера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению L - Л - пар или F - С-систем и позволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. [44]
В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины F и С обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая-и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой алгебраической структурой. Так, в монографии [7] показано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца - Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работах [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредингера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению L - Л - пар или F - С-систем и позволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. [45]