Cтраница 3
Те два направления в касательной плоскости, которые их дают, называются главными направлениями. Кроме того в гиперболическом случае полезно отметить еще два направления в касательной плоскости, а именно - направления асимптот индикатрисы Дюпена. Для этих асимптотических направлений радиус-вектор индикатрисы равен бесконечности, и кривизна соответствующего нормального сечения в рассматриваемой точке равна нулю. [31]
Несколько подробнее мы остановимся на теории поверхностей, так как она в наших лекциях имеет право на наибольшее место и интерес в диференциальной геометрии. Прежде чем сообщить нечто связное об этом, мы опять-таки приведем некоторые сюда относящиеся заголовки, которые нам послужат руководящими нитями для дальнейшего: кривизна, теорема Эйлера о кривизне, индикатриса Дюпена), линии кривизны, асимптотические линии, геодезические линии, минимальные поверхности, поверхности постоянной кривизны. [32]
В этих случаях необходимо лишь построить соответствующее плоское сечение рассматриваемой поверхности и, пользуясь им, по чертежу определить параметры г, R несоприкасающегося винтового гора, который имеет общую с заданной поверхностью индикатрису Дюпена. [33]
Эти термины связаны с видом, который имеет так называемая индикатриса Дюпена в рассматриваемой точке поверхности. Именно, кривая, которая получается в результате пересечения поверхности с плоскостью, параллельной и бесконечно близкой к касательной плоскости поверхности в рассматриваемой точке, является в первом случае ( в первом приближении) эллипсом, а во втором случае - гиперболой. В обоих случаях главные сечения поверхности даются главными осями индикатрисы Дюпена. Асимптоты индикатрисы иногда называют соприкасающимися касательными; разумеется, они действительны только в случае гиперболической кривизны. Если желательно ввести соприкасающиеся касательные без помощи индикатрисы, то можно сказать: касательная плоскость к поверхности в какой-нибудь ее точке с гиперболической кривизной пересекает эту поверхность по кривой с двойной точкой; две касательные к этой кривой в двойной точке и являются соприкасающимися касательными. Или: соприкасающиеся касательные имеют с поверхностью три общие бесконечно близкие точки. Это свойство и оправдывает их название. [34]
Каждая точка на поверхности изображает определенное состояние; каждая линия, проходящая по поверхности через эту точку, изображает некоторый процесс изменения состояния. По теореме Дюпена, эти два направления совпадают с направлениями двух сопряженных диаметров индикатрисы Дюпена в этой же точке поверхности. [35]
Радиусы кривизны R1 и R2 называются главными радиусами кривизны нормальных сечений в рассматриваемой точке. Те два направления в касательной плоскости, которые их дают, называются главными направлениями. Кроме того в гиперболическом случае полезно отметить еще два направления в касательной плоскости, а именно - направления асимптот индикатрисы Дюпена. Для этих асимптотических направлений радиус-вектор индикатрисы равен бесконечности, и кривизна соответствующего нормального сечения в рассматриваемой точке равна нулю. [36]
R2 называются главными радиусами кривизны нормальных сечений в рассматриваемой точке. Те два направления в касательной плоскости, которые их дают, называются главными направлениями. Кроме того в гиперболическом случае полезно отметить еще два направления в касательной плоскости, а именно - направления асимптот индикатрисы Дюпена. Для этих асимптотических направлений радиус-вектор индикатрисы равен бесконечности, и кривизна соответствующего нормального сечения в рассматриваемой точке равна нулю. [37]
XY, вспомогательную кривую следующим образом: на всяком радиусе-векторе из начала О отложим отрезок ON R, где R - радиус кривизны того нормального сечения, для которого взятый радиус-вектор является касательной. Знак ( - -) выбираем так, чтобы под радикалом оказалась положительная величина. Геометрическое место концов N построенных отрезков дает кривую, которая называется индикатрисой Дюпена. Свойство этой кривой, согласно построению, следующее: квадрат любого ее радиуса-вектора дает абсолютное значение радиуса кривизны того нормального сечения, для которого взятый радиус-вектор является касательной ( черт. [38]
XY, вспомогательную кривую следующим образом: на всяком радиусе-векторе из начала О отложим отрезок Oyv ] / - R, где R - радиус кривизны того нормального сечения, для которого взятый радиус-вектор является касательной. Знак () выбираем так, чтобы под радикалом оказалась положительная величина. Геометрическое место концов N построенных отрезков дает кривую, которая называется индикатрисой Дюпена. [39]
Индикатриса Дго-нона может быть одной из следующих трех кривых: эллипсом, гиперболой или парой параллельных прямых. Соответственно этому точки поверхности подразделяются на эллиптические, гиперболические н параболические. В случае, если все нормальные К. Если индикатриса Дюпена является кругом, то такую эллнптич. [40]