Бесконечно малое вращение

Cтраница 3

Если вспомним теперь, что при развитии всей теории сил для неизменяемого тела, § 78 - 90, мы не пользовались никакими другими основаниями, кроме тех, которые имеют место также и для бесконечно малых вращений, то тотчас станет ясным, что мы здесь для случая вращений тем же путем придем к тому же самому результату, как там для случая сил; поэтому вполне достаточно прямо указать результаты, а во всем остальном сослаться на прежние рассуждения. Мы можем, следовательно, без дальнейшего рассмотрения высказать следующие положения, которые, разумеется, все относятся только к бесконечно малым вращениям. [31]

Решение волнового уравнения при заданной ориентации координатных осей должно остаться решением и при другой ориентации. Рассмотрите разность между ф ( г, в, у) и ф ( г, 6 у) при бесконечно малом вращении и покажите, что вектор г X Уф удовлетворяет волновому уравнению, ели ф - решение скалярного волнового уравнения. [32]

Решение волнового уравнения при заданной ориентации координатных осей должно остаться решением и при другой ориентации. Рассмотрите разность между Ь ( г, 6, tp) и ф ( г, 6, tp) при бесконечно малом вращении и покажите, что вектор г X Уф удовлетворяет волновому уравнению, если ф - решение скалярного волнового уравнения. [33]

При вращении тела две его точки остаются неподвижными, стало быть, и связывающая их прямая также не перемещается. Эта прямая называется осью вращения. Бесконечно малое вращение называется элементом вращения. [34]

Следовательно, функция Гамильтона является инвариантом переноса в том направлении, для которого соответствующая компонента импульса не изменяется. Это просто другой способ выражения того обстоятельства, что некоторой циклической координате соответствует постоянная компонента импульса. Подобный результат получается и при рассмотрении бесконечно малых вращений, порожденных функцией G, и соответствующих им компонент момента количества движения. [35]

Выведенные нами в предыдущей задача свойства движения применяются к движению сложного сферического маятника при условии, что со, , ] i, v могут рассматриваться как бесконечно малые величины, квадратами и парными произведениями которых можно пренебречь. При такой степени приближения можно заменить ось бесконечно малого вращения со бесконечно близкой к ней осью. [36]

Ось 1 является оператором идентичности, оставляющим фигуру на месте. Наличие ее означает, что любое, даже бесконечно малое вращение приводит к совмещению. Круглая пластинка не может быть полностью удовлетворительным примером, так как она дополнительно к оси вращения бесконечного порядка имеет плоскости симметрии. [37]

Сложение двух векторов.| Сложение и вычитание векторов. [38]

Закон параллелограма при сложении, представленный на рис. 2, характерен для тех величин, которые мы называем векторами. Существуют однако величины, которые также имеют длину, направление и знак, и которые тем не менее, в установленном здесь смысле, нельзя рассматривать как векторы, так как их сложение следует другому закону. Так, например, как известно из кинематики, бесконечно малые вращения твердой системы вокруг неподвижной точки представляются векюрами, ибо сложение таких вращений повинуется закону параллелограма; наоборот, конечное вращение нельзя рассматривать как вектор, потому что сложение вращений совершается более сложным образом. Как учит статика, силы, действующие на материальную точку, следуют при сложении закону параллелограма. Значит, эти силы суть векторы. [39]

В самом деле, представим себе произвольное элементарное перемещение сферы от момента t до момента - - &. Как мы знаем ( III, рубр. С сферы с плоскостью, то это движение слагается из бесконечно малого вращения вокруг прямой, выходящей ЕЗ С, и некоторого элементарного поступательного смещения; поскольку соприкосновение сферы с плоскостью поддерживается во все время движения, это поступательное смещение непременно должно произойти параллельно этой плоскости. [40]

В Новой теории вращения тел 2 он построил аналогичную теорию для бесконечно малых движений, показав, что всякая система бесконечно малых движений в совокупности эквивалентна кинематическому винту, состоящему из бесконечно малого поворота вокруг оси винта и бесконечно малого переноса вдоль этой оси. С математической точки зрения в обоих случаях речь идет об одной и той же схеме: с одной стороны, силы и бесконечно малые вращения представляются скользящими векторами, с другой стороны, моменты пар сил и бесконечно малые переносы представляются свободными векторами, и в обоих случаях пара скользящих векторов эквивалентна свободному вектору, направленному перпендикулярно плоскости векторов пары. [41]

По существу уже в работе 1760 г., посвященной применению принципа наименьшего действия в динамике с использованием исчисления вариаций 2, он с единой точки зрения выводит законы сохранения импульса и момента импульса на основе евклидовой симметрии пространства. Исходным при этом является принцип наименьшего действия, предполагающий выполнение закона сохранения энергии. На этой основе Лагранж получает прообраз своей общей формулы динамики, а затем, рассматривая в качестве допустимых виртуальных перемещений бесконечно малые сдвиги системы вдоль декартовых осей х, у, z и бесконечно малые вращения вокруг этих осей, получает в отсутствие внешних сил законы сохранения импульса и момента импульса. [42]

Отсюда следует: винт Л - переводит ( J в первоначальное положение прямой С, так как точка пересечения прямых 1 и С переводится в первоначальное положение гички пересечения прямых D и ( 1 випт Л2 переводит 6 в первоначальное положение прямой С, так как точка пересечения прямых D. С переводится в первоначальное положение точки пересечения прямых В-2 и С. С есть ось результирующего винтового движения и величина поступательного перемещения равна удвоенному отрезку, отсекаемому от С прямыми В и 1.2 - Далее, прямая BI. Следовательно, величина результирующего вращательного перемещения равна удвоенному углу между В-2 и BI. Таким образом, теорема Лльфана доказана. Показать, что всякое бесконечно малое перемещение твердого тела может быть разложено на два бесконечно малых вращения и что ось одного из этих вращений может быть выбрана произвольно. [43]

Покажем, что при движении плоской фигуры в ее плоскости подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде. В самом деле, из теоремы Бернулли - Шаля следует, что перемещение плоской фигуры из одного положения ( I) в другое ( II) можно получить поворотом около центра конечного вращения. Действительное движение тела может при этом отличаться от чистого вращения, но начальное и конечное положения тела совпадают в обоих движениях. Заменим перемещение плоской фигуры из положения ( I) в положение ( II) достаточно большим числом п элементарных перемещений, причем в начале и конце каждого элементарного перемещения положение плоской фигуры совпадает с истинным ее положением в реальном движении. Увеличивая число п таких перемещений до бесконечности, сделаем каждое элементарное перемещение бесконечно малым и бесконечно малые дуги действительных траекторий точек плоской фигуры заменим бесконечно малыми дугами окружностей, общий центр которых находится в центре мгновенного вращения. Такая замена может быть выполнена с любой степенью точности, а следовательно, истинное движение плоской фигуры можно заменить системой последовательных бесконечно малых вращений около центров мгновенного вращения. [44]

Страницы: 1 2 3