Cтраница 2
Если мы имеем возможность произвольно выбирать направление на оси вращения, то всегда можно выбрать его так, чтобы данное вращение имело положительное направление. [16]
Каждая ось вращения пересекает шар - в двух точках; эти точки будут единственными точками, не изменяющими своего положения на шаре при данном вращении; для краткости назовем их полюсами вращения. [17]
Легко видеть, что любая совокупность значений ( 1, ц, v), удовлетворяющая условию (10.3), определяет единственное вращение, но что данному вращению соответствуют две системы значений этих величин. [18]
При сложении двух направленных в противоположные стороны вращений вокруг параллельных осей абсолютное движение тела таково, что в каждый данный момент существует мгновенная ось вращения тела, параллельная осям данных вращений и делящая расстояние между ними внешним образом на части, обратно пропорциональные относительной и переносной угловым скоростям. Мгновенная абсолютная угловая скорость тела параллельна относительной и переносной угловым скоростям и направлена в сторону большей из них, а ее модуль равен разности модулей этих угловых скоростей. [19]
Если, например, выбрана произвольно ось первой транспозиции, удовлетворяющая указанным условиям, то вторая ось получится из первой с помощью гюст) нательного перемещения, равного половине данного поступательного перемещения, и вращения, равного половине данного вращения. Если вторая ось выбрана указанным образом, то результирующее перемещение обеих транспозиций будет, в силу предыдущей теоремы, совпадать с данным перемещением. [20]
Переходим к решению поставленной задачи. Пусть А-ось данного вращения, и D - общий перпендикуляр к прямой Лик какой-либо прямой, параллельной направлению данного поступательного перемещения. [21]
Разложим теперь данное поступательное перемещение на две транспозиции, вторая из которых имеет своей осью прямую D, и обозначим через D ось первой транспозиции. Аналогично, разложим данное вращение на две транспозиции, первая из которых имеет своей осью прямую D, и обозначим через D2 ось второй транспозиции. Следовательно, ось А2 этого перемещения будет совпадать с общим перпендикуляром к прямым D и D2 и также будет параллельна оси А. [22]
Можно сказать, что данному вращению R соответствуют два угла поворота, дополняющих друг друга до 360 и имеющих противоположное направление. Повернув ось ( S) около оси ( R) на угол, равный половине каждого из этих двух углов и имеющий с ним одинаковое направление, мы и получим оба возможных положения ( S) и ( S) оси второго вращения. Отсюда вытекает, что если ось ( S) описывает некоторую плоскость, то и осп ( S) и ( S) описывают каждая плоскость. [23]
По ответу задачи 1639 ими исчерпываются все вращения икосаэдра. Непосредственной проверкой убеждаемся, что для каждого нетождественного вращения найдется ребро, переводящееся данным вращением в другое ребро, не параллельное и не перпендикулярное к данному ребру. Поэтому только тождественному вращению соответствует тождественная подстановка систем ребер. [24]
По ответу задачи 1639 ими исчерпываются все вращения икосаэдра. Непосредственной проверкой убеждаемся, что для каждого нетождественного вращения найдется ребро, переводящееся данным вращением в другое ребро, не параллельное и не перпендикулярное к данному ребру. Поэтому только-тождественному вращению соответствует тождественная подстановка систем ребер. [25]
Комплексные числа и Н определяют соответствующее вращение однозначно. Числа Н, - Н, или числа S5, г К, - г Н, называются параметрами Кели-Клейна данного вращения. [26]
Если дано некоторое винтовое перемещение, то тем самым дано определенное направление на оси, а именно направление поступательного перемещения. В соответствии с этим винтовое перемещение называется положительным ( правым) или отрицательным ( левым), смотря по тому, имеет ли данное вращение положительное или отрицательное направление по отношению к направлению поступательного перемещения. [27]
Комплексные числа a, b определяют соответствующее вращение однозначно, но a, ft и - а, - 6 ( а потому матрицы U и - U) описывают одно и то же вращение. Числа а, Ь, - Ъ, а или числа a, ib, - lb, а называются параметрами Кэли - Клейна данного вращения. [28]
Комплексные числа а, Ъ определяют соответствующее вращение однозначно, но а, 6 и - о, - 6 ( а потому матрицы U и - U) описывают одно и то же вращение. Числа a, b, - b, а или числа a, i §, - ib, а называются параметрами Кэли - Клейка данного вращения. [29]
Чтобы найти две другие, не изменяющие направлений линии, проводим плоскость, перпендикулярную к я; эта плоскость рассечет конус постоянных направлений или по одной линии, которая есть характеристика я, или по этой линии и еще по двум другим линиям ft и с. Так как характеристика линии я не должна, вообще говоря, сохранять от внутренней девиации угол с линией а, то в первом случае будет для данного вращения существовать только одна не изменяющая направления линия а и одна нормаль я не изменяющей направления плоскости; во втором случае мы будем иметь три не изменяющие направления линии я, Ь, с и три не изменяющие своего направления плоскости, проходящие через эти линии. [30]