Cтраница 2
Построение интеграла Римана закончено. [16]
Мы определили интеграл Римана - Стилтьеса ( 8), считая, что функция Ф ( х) непрерывна слева. Однако определение этого интеграла как предела сумм ( 7) сохраняет смысл и для любой функции Ф ( х) с ограниченным изменением. При этом имеет место следующее свойство. [17]
Если существует интеграл Римана для функции g ( f ( s)) - p ( s), то мы понимаем под выражением (5.11) интеграл Римана. [18]
Мы определили интеграл Римана - Стилтьеса ( 8), считая, что функция Ф ( х) непрерывна слева. Однако определение этого интеграла как предела сумм ( 7) сохраняет смысл и для любой функции Ф ( л:) с ограниченным изменением. При этом имеет место следующее свойство. [19]
Слева стоит интеграл Римана. [20]
Используя определение интеграла Римана и формулу среднего значения, докажите, что приближения, получаемые по составным формулам прямоугольников и трапеций, сходятся при h - 0 к интегралу. Выделите отчетливо те предположения, которые вы делаете относительно подынтегральной функции. [21]
Из теории интегралов Римана известно, что при р - сю обе суммы в (2.8) сходятся к одному и тому же пределу, равному интегралу от функции / ( ж), распространенному на область А. [22]
Напомним определение интеграла Римана - Стилтьеса. [23]
Риману и интеграла Римана для вещественной функции на отрезке и доказано, что они равносильны соответственно понятиям интегрируемости и определенного интеграла, определенным ранее в той же главе. Аналогично обстоит дело и для двойных интегралов. [24]
В этом смысле интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла. Содержательность здесь понимается в том смысле, что для ограниченных подынтегральных функций, определенных на ограниченных промежутках, доказываемые ниже теоремы либо тривиальны, либо доказаны раньше. [25]
Таким образом, интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла. [26]
Соответствующий интеграл называется интегралом Римана - Стильтьеса. [27]
Лебега совпадает с интегралом Римана, а для интеграла Римана известна теорема о перемене порядка интегрирования. [28]
Все сказанное об интеграле Римана - Стилтьеса по конечному промежутку легко переносится на случай, когда интеграл берется по всей прямой или по полупрямой. [29]
Установим некоторые элементарные свойства интеграла Римана - Стилтьеса. [30]