Cтраница 3
Таким образом, для интеграла Римана от непрерывной функции справедлива формула Ньютона - Лейбница ( § 8 гл. [31]
Переходим к общему определению интеграла Римана. [32]
Лебега существует и равен интегралу Римана. [33]
В тех случаях, когда интеграл Римана существует, он равен интегралу Лебега. Можно было бы подумать, что современный курс математического анализа может вообще не содержать интеграла Римана, а только интеграл Лебега. Дело в том, что интеграл Лебега неестествен для ориентированных многообразий. Простейший пример, на котором можно почувствовать разницу, заключается в следующем. [34]
Лебега g ах превращается в интеграл Римана. [35]
Однако, в отличие от интеграла Римана, интегралы по всем этим промежуткам могут быть различными. [36]
Интеграл по t здесь является интегралом Римана. [37]
При а ( х) х интеграл Римана - Стильтьеса совпадает с интегралом Римана. [38]
Подчеркнем, что в основу построения интегралов Римана и Лебега положены разные идеи. [39]
Интеграл Лебега, в отличие от интеграла Римана, строится несколько иначе. [40]
Дарбу ( 1875) дал определение интеграла Римана, к-рое делает особенно наглядными условия существования такого И. Дарбу вводит суммы ( ваз. [41]
Однако, в соответствии со свойствами интеграла Римана, наличие конечного числа точек разрыва первого рода у подинтегральной функции не приводит к нарушению интегрируемости или к изменению величины интеграла. [42]
Таким образом, понятия первообразной и интеграла Римана там, где они пересекаются, тождественны, но они взаимно дополняют друг друга в тех случаях, когда одно из этих понятий не определено. [43]
Следующие две формулы выражают линейные свойства интеграла Римана. [44]
Лебега менее ограничительны, чем для интеграла Римана. [45]