Cтраница 3
Основная идея таких вычислений состоит в выходе в комплексную плоскость, т.е. в переходе от вычисления вещественного интеграла к вычислению комплексного интеграла. Такой переход осуществляется всякий раз конкретно в зависимости от вида подынтегральной функции и отрезка интегрирования. [31]
При вычислении флуктуационного электромагнитного поля мы следуем развитому С.М. Рытовым [4] методу, основанному на введении в уравнения Максвелла стороннего случайного поля, функция корреляции которого в различных точках пространства зависит только от свойств вещества, но не от формы тела. Оба тела представляем себе в виде двух полупространств, разделенных щелью ширины I. Достаточно определить поле внутри этой щели, после чего искомую силу взаимодействия F, действующую на 1 см2 поверхности каждого из тел, можно найти по соответствующей компоненте максимального тензора напряжений. Результат оказывается возможным представить в виде двойного комплексного интеграла, в котором одной из переменных интегрирования является частота монохроматических компонент поля. Из этого выражения должен еще быть исключен расходящийся член, не зависящий от расстояния I и потому не имеющий отношения к силе притяжения между телами ( сила F ( V) должна обращаться в нуль при I - сю); этот расходящийся член представляет собой силу обратного действия собственного поля тел на сами эти тела, которая в действительности компенсируется такими же силами на двух сторонах тела. [32]
Дневники Гаусса показывают, что уже на семнадцатом году жизни он начал делать поразительные открытия. Например, в 1795 г. он независимо от Эйлера нашел закон квадратичной взаимности теории чисел. В диссертации дано первое строгое доказательство так называемой основной теоремы алгебры, теоремы о том, что каждое алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один корень и, следовательно, столько корней, сколько единиц в показателе его степени. В третьем доказательстве ( 1816 г.) используются комплексные интегралы, и это показывает, как рано Гаусс овладел теорией комплексных чисел. [33]
Он особенно удобен и эффективен при решении плоских задач теории упругости для тел сложной геометрии, содержащих включения, отверстия и трещины произвольной формы. В работах [94-96] основные граничные задачи для многосвязной области, содержащей изолированные криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены к системе сингулярных интегральных уравнений по замкнутым ( контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым ( разрезы) контурам. К настоящему времени появилось большое количество работ, в которых методом сингулярных интегральных уравнений изучаются плоские задачи теории трещин. В данной главе изложен метод сингулярных интегральных уравнений для решения основных граничных задач плоской теории упругости для многосвязных областей с отверстиями и разрезами произвольной формы при наличии угловых точек на граничных контурах, а также изучено поведение вблизи концов линии интегрирования интеграла типа Коши и некоторых других комплексных интегралов, плотности которых имеют особенности степенного характера. [34]