Cтраница 3
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение f ( x) dx представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и и dv ( последний обязательно содержит dx) и заменяется двумя интегрированиями: 1) при отыскании v из выражения для dv; 2) при отыскании интеграла от vdu. Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно. [31]
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение f ( x) dx представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и и dv ( последний обязательно содержит dx) и заменяется двумя интегрированиями: 1) при отыскании v из выражения для dv; 2) при отыскании: интеграла от vdu. Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно. [32]
Это в полной мере относится к такому действию как интегрирование. Прежде чем воспользоваться таблицей интегралов необходимо заданный интеграл преобразовать к табличному. [33]
Этот интеграл также может быть приближенно вычислен через максимальное значение модуля подынтегральной функции с поправкой на быстроту ее убывания на контуре интегрирования. Если путь интегрирования, соединяющий точки z и z2 таков, что на небольшом его участке абсолютная величина подынтегральной функции достигает наибольшего значения, а затем быстро спадает, то естественно предположить, что найденная величина дает хорошее приближение. Так как функция f ( z) является аналитической в области ( /, то в силу теоремы Коши значение интеграла ( 1) определяется лишь заданием начальной z и конечной 2 точек пути интегрирования, а не видом кривой С. Отсюда следует, что для заданного интеграла ( 1) возможность его приближенного вычисления с помощью рассматриваемых методов связана с возможностью выбора такого контура интегрирования, чтобы он удовлетворял указанным выше требованиям. Нас интересуют значения интеграла ( 1) при больших положительных значениях параметра А, стоящего в показателе у экспоненты. Поэтому естественно ожидать, что основной вклад в значение интеграла дадут те участки пути интегрирования, на которых функция и ( х у) - действительная часть функции f ( z) и ( х у) iv ( x y) - достигает наибольших значений. При этом следует иметь в виду, что функция и ( х у), являясь гармонической в области Q, не может достигать абсолютного максимума во внутренних точках этой области, т.е. внутри области Q нет точек, в которых функция и ( х у) возрастала бы или убывала по всем направлениям. [34]
Возможны различные комбинации несобственных интегралов этих типов. При этом заданный интеграл разбивают на сумму нескольких интегралов, пользуясь свойством IV из § 2 так, чтобы каждое слагаемое имело только одну особенность. Интеграл называется сходящимся, если сходятся все интегралы-слагаемые. Если хоть один из интегралов-слагаемых расходится, то и заданный интеграл называется расхо дящимся. [35]
Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. [36]