Cтраница 3
Здесь в результате замены переменной данный несобственный интеграл ( от функции, имеющей бесконечный разрыв в правом конце интервала интегрирования) преобразовался в собственный интеграл от непрерывной функции и с конечным интервалом интегрирования, который вычислен обычным путем без применения предельного перехода. [31]
Чтобы сформулировать условия, при которых для несобственных интегралов, зависящих от параметра, справедливы теоремы, аналогичные доказанным в предыдущем параграфе для собственных интегралов, зависящих от параметра, полезно понятие так называемой равномерной сходимости интеграла. [32]
В соотношениях (5.76), (5.77) в первых интегралах подынтегральная функция экспоненциально убывает равномерно по всем параметрам, второй интеграл тригонометрической заменой сводится к собственному интегралу по конечному отрезку. [33]
В случаях, когда область интегрирования простирается в бесконечность или подин-тегральная функция перестает быть ограниченной вблизи особых точек, линий или поверхностей, несобственный тройной интеграл получается с помощью дополнительного предельного перехода, исходя из собственного интеграла. Своеобразие многомерного случая по сравнению с линейным случаем уже было отмечено в связи с изучением несобственных двойных интегралов, и сейчас к этому добавить нечего. [34]
Сделанное замечание еще раз напоминает о том, что, используя при обращении с несобственным интегралом аналоги свойств интеграла Римана, следует всегда не забывать о необходимости проверки справедливости для несобственного интеграла всякого утверждения, аналогичного соответствующему утверждению для собственного интеграла. [35]
При поставленных условиях равномерная сходимость несобственных интегралов вполне соответствует равномерной сходимости рядов, изученной в первом томе ( п 388Х Покажем, в самом деле, что равномерно сходящийся несобственный, интеграл может бить представлен в виде суммы равномерно сходящегося ряда собственных интегралов. [36]
Эта формула имеет место как в случае неограниченности пределов интегрирования, так и в случае неограниченности подынтегральных функций. Она может быть получена предельным переходом в формуле (8.2) для собственных интегралов. [37]
Как мы уже упоминали, интеграл ( 56) является собственным интегралом, если М лежит вне D. В этом случае функция V ( M) имеет частные производные всех порядков. [38]
На несобственные интегралы вида ( 41) непосредственно распространяются многие свойства собственных интегралов. [39]
Дня вычисления его можно воспользоваться любым из методов преобразования, изученных в главе I, но наиболее употребительным является правило интегрирования под знаком интеграла, которое состоит в обращении двух интегрирований по отношению к х и а. Однако, не следует забывать, что это правило установлено лишь для собственных интегралов. Мы ниже увидим, что на несобственные интегралы оно может быть распространено лишь при частных предположениях. [40]
Одна из них, F2, непрерывна на основании теоремы о непрерывности собственного интеграла по параметру, потому, что / ( л, у) непрерывна на замкнутом множестве Q X CD - cog), другая, Fj, удовлетворяет неравенству FI ( л:) ] е для всех л: е И. Но тогда в силу доказываемой ниже леммы и F ( x) непрерывна. [41]
Таким образом, а и Ъ могут означать не только конечные числа, но также и оо. Простейшие свойства несобственных интегралов, которые мы лишь перечислим, вполне аналогичны свойствам собственных интегралов [302-306] и получаются из них единообразным приемом. Так как несобственные интегралы суть пределы собственных, то обычно достаточно написать для этих последних равенство или неравенство, выражающее требуемое свойство, и перейти к пределам. [42]
Определение равномерно сходящегося интеграла представляет аналогию с определением равномерно сходящегося ряда. Более того, равномерно сходящийся несобственный интеграл может быть представлен в виде суммы ряда равномерно сходящихся собственных интегралов. Указанная аналогия облегчает установление следующих свойств равномерно сходящихся несобственных интегралов. [43]
Первый интеграл - в силу теоремы 1, второй - в силу теоремы о непрерывности собственного интеграла от параметра, так как f ( x, у) непрерывна на fix ( Z) - соб), а третий - как разность первого и второго. [44]