Cтраница 3
Недавно Фам [17] в связи с этим обратил внимание на работу Тома [18] и рассмотрел приложения этой работы к изучению фейнмановских интегралов. [31]
Такие понятия ( определение которых дано ниже), как категории и функторы, пучки и расслоенные пространства, непосредственно не нужны для изучения фейнмановских интегралов или интегралов унитарности, но постоянно встречаются и используются в соответствующей математической литературе. С другой стороны, понятия гомотопических групп, многообразия и когомологических групп весьма существенны. Понятие спектральной последовательности, хотя и довольно специальное, все же используется в расчетах Федербуша по трехступенчатым лестничным диаграммам. [32]
В связи с задачей придания фейнмановскому интегралу стандартного вида следует заметить ( на это также указали Фотиади и Фам), что в определении фейнмановского интеграла для случая более одной петли существует неоднозначность. Обе интерпретации после поворота путей в энергетических интегралах ведут к определению фейнмановского интеграла на двух разных листах. В этом направлении необходимы дальнейшие исследования. [33]
Разумно было бы ожидать, что, несмотря на возможную бессмысленность самой теории возмущений ( за исключением случая квантовой электродинамики), из структуры сингулярностей отдельных фейнмановских интегралов можно почерпнуть вполне осмысленную и ценную информацию в отношении аналитических свойств полных амплитуд рассеяния. Так или иначе, множество всех сингулярностей всех фейнмановских интегралов, относящихся к данному процессу рассеяния, исчерпывает все возможные сингулярности рассеяния: знание этого множества, несомненно, полезно хотя бы для дальнейших прогнозов. Кроме того, отдельные фейнмановские интегралы по существу совпадают ( с точностью до тривиального множителя) с интегралами унитарности. [34]
Ny внешними электронными и фотонными линиями определяется величиной К 3 / 2 Ne Ny - 4, представляющей собой разность степеней знаменателя и числителя в фейнмановском интеграле. Исходя из ф-лы для К, можно показать, что в квантовой электродинамике расходятся только след, неприводимые диаграммы: 1) с двумя внешними электронными линиями; 2) с двумя внешними фотонными линиями; 3) с двумя внешними электронными и одной фотонной линиями. Выяснить, является ли данное взаимодействие перенормируемым, можно, определив размерность константы связи g, отвечающей данному взаимодействию. Если лагранжиан взаимодействия записан без выделения к. Примером подобного рода может служить взаимодействие нейтрального векторного мезона со спинорным полем, если соответствующий спинорный ток сохраняется. [35]
Выход из создавшегося положения был недавно найден Фо-тиади, Фруассаром, Ласку и Фамом [13-16], которые пошли по совершенно новому пути и предложили воспользоваться для исследования фейнмановских интегралов известной в алгебраической топологии математической теорией гомологии и когомо-логий. Суть этого нового подхода состоит в следующем. Вместо составления подробных описаний сложных римановых поверхностей, на которых заданы соответствующие функции комплексного переменного, связанные с фейнмановскими интегралами ( что проводилась в более ранних работах), предлагается описывать топологию этих поверхностей при помощи связанных с ними цепочками так называемых групп гомологии. Таким образом, задача исследования аналитических особенностей фейнмановского интеграла сводится к чисто алгебраической задаче определения, или, как говорят, вычисления соответствующих гомологических групп. Фотиади и др. удалось найти эффективный совершенно новый математический аппарат, с помощью которого элегантно и с единой точки зрения решаются все вопросы, связанные с исследованиями фейнмановских интегралов. [36]
Мы видим также математическую причину отсутствия расходимости в мнимой части диаграммы: она определяется интегрированием по конечной области массовой поверхности вместо интегрирования по всему бесконечному импульсному 4-простран-ству в исходном фейнмановском интеграле. [37]
Мы видим также математическую причину отсутствия расходимости в мнимой части диаграммы: она определяется интегрированием по конечной области массовой поверхности вместо интегрирования по всему бесконечному импульсному 4-про-странству в исходном фейнмановском интеграле. [38]
Правда, здесь следует отметить, что основная математическая идея об использовании теории гомологии для исследования сложных интегралов на алгебраических поверхностях ( к числу таких интегралов относятся и рассматриваемые фейнмановские интегралы) не является новой и уже рассматривалась в русской математической литературе. [39]
Виттена, с математической точки зрения не определен, ( Ради справедливости следует отметить, что физики уже давно успешно работают с интегралами такого типа, в частности, с так называемыми фейнмановскими интегралами по траекториям. [40]
Предлагаемая вниманию читателя книга американских физиков Хуа и Теплица имеет целью ввести читателя-физика в круг идей современной алгебраической топологии, познакомить с теорией гомологии и когомологий, которые в настоящее время начали использоваться при исследовании аналитических свойств фейнмановских интегралов в теории квантованных полей. [41]
В то время как в конечных размерностях метод стационарной фазы - это классическое средство, восходящее еще к работам Стокса и Кельвина и продолжающее развиваться вплоть до наших дней ( см., например, книгу Guillimen, Sternberg [1]), потребовалось значительное время, прежде чем в бесконечной размерности удалось развить соответствующий метод стационарной фазы, достаточно мощный, чтобы с его помощью можно было изучить некоторые классы фейнмановских интегралов по траекториям. [42]
Они удобны тем, что при р - - т и 7 - - А 2 соответственно имеют простые полюсы с единичными вычетами Gr ( p) - - ( f) - т) - Ч Dr ( 92) - H92 - Я2) 1, так как из (3.1) видно, что в этом пределе величины Sr ( p) и Пг ( 92) убывают заведомо быстрее, чем Р - т и 92 - ДА Кроме того, как показано ниже, в них, в отличие от G ( p) и D ( q2), сокращаются все расходящиеся на верхнем пределе части фейнмановских интегралов. [43]
Положим, что Мта и Мть соответствуют диаграммам с некоторой внутренней структурой. Подставляя соответствующие фейнмановские интегралы для них в (1.16), мы получаем правую часть, пропорциональную (1.14), только в пропагаторах Мта величины / в будут входить с отрицательными знаками. Таким образом, формула (1.16), которая следует из условия унитарности, является частным случаем общей формулы; если функция скачка (1.16) связана с разбиением диаграммы на две части, общая формула для скачков приложима к разбиению диаграммы на несколько частей. [44]
Помимо ультрафиолетовых расходимостей в фейнмановских интегралах, определяющих радиационные поправки ( одно - и многопетлевые) к амплитудам различных процессов, встречаются инфракрасные расходимости, возникающие за счет области интегрирования по очень малым импульсам виртуальных фотонов. Хорошо известно, что они обусловлены равенством нулю массы фотона ( А0) и связаны с тем, что реально процессы рассеяния заряженных частиц идут лишь в том случае, если они сопровождаются испусканием ( стряхиванием) бесконечного числа мягких фотонов - со сколь угодно малой энергией. [45]