Cтраница 4
Одним из важных направлений современной физики является разработка и применение новых математических методов теоретического анализа, необходимых для решения возникающих в ходе развития науки все новых и все более сложных физических проблем. К числу таких проблем относится анализ фейнмановских интегралов в квантовой теории поля. [46]
Прежде чем мы приступим к вычислению фейнмановского интеграла по траекториям с помощью метода стационарной фазы, будет полезно вспомнить некоторые часто встречающиеся определения и соотношения классической механики. [47]
Разумно было бы ожидать, что, несмотря на возможную бессмысленность самой теории возмущений ( за исключением случая квантовой электродинамики), из структуры сингулярностей отдельных фейнмановских интегралов можно почерпнуть вполне осмысленную и ценную информацию в отношении аналитических свойств полных амплитуд рассеяния. Так или иначе, множество всех сингулярностей всех фейнмановских интегралов, относящихся к данному процессу рассеяния, исчерпывает все возможные сингулярности рассеяния: знание этого множества, несомненно, полезно хотя бы для дальнейших прогнозов. Кроме того, отдельные фейнмановские интегралы по существу совпадают ( с точностью до тривиального множителя) с интегралами унитарности. [48]
В седьмой главе развивается квазиклассическая квантовая механика хаотических систем. Исходным выражением при этом является квантовый пропагатор, записанный через фейнмановские интегралы по траекториям. Квазиклассические выражения для пропагатора и функции Грина находятся с помощью метода стационарной фазы. [49]
Далее (1.2) подставляют в (1.1) и изменяют порядок интегрирования по ki и ее; последнее, конечно, нельзя делать для расходящихся интегралов. Однако, как мы только что сказали, при изучении структуры фейнмановских интегралов мы пренебрегаем проблемой расходимостей от бесконечных значений &. Поэтому без колебаний изменяем порядок интегрирования, о котором идет речь, в любом рассматриваемом интеграле. [50]
В связи с задачей придания фейнмановскому интегралу стандартного вида следует заметить ( на это также указали Фотиади и Фам), что в определении фейнмановского интеграла для случая более одной петли существует неоднозначность. Обе интерпретации после поворота путей в энергетических интегралах ведут к определению фейнмановского интеграла на двух разных листах. В этом направлении необходимы дальнейшие исследования. [51]
Это явление иногда называют размерностей трансмутацией. Ясно вместе с тем, что точное значение Л зависит от способа регуляризации фейнмановских интегралов, который влияет на нелогарифмические члены в множителях Z ( см. разд. [52]
Несомненно, наконец найден, по-видимому, правильный математический язык для исследования и описания сингулярностей фейнмановских интегралов. К настоящему времени этим методом удалось очень просто получить заново почти все важнейшие старые, ставшие теперь классическими, результаты в отношении фейнмановских интегралов простейших диаграмм теории возмущений, диаграмм с одной и двумя замкнутыми петлями, в отношении сингулярностей типа рассмотренных Ландау и других типов, правда, пока что в самом важном случае простых квадратичных пинчей. [53]