Многократный интеграл

Cтраница 3

Представление ( 18) позволяет заменить вычисление предельных вероятностей Р т /, выражающихся через интегралы от плотностей многомерных нормальных распределений ( 17), на вычисления методом статистических испытаний. Нужно моделировать реализации нормального вектора r / m; по ним найти реализации гт и использовать частоты вероятностей Р тш / в качестве их числовых значений с точностью, соответствующей числу реализаций. Таким образом, трудоемкие вычисления многократных интегралов заменяются простыми вычислениями реализаций гт. [31]

Несмотря на то, что равенство ( 32) действительно верно, два формальных предела - теория на полуоси времени и теория на всей оси - существенно различны. Это доказывает лишь то, что формальный предельный переход является, вообще говоря, незаконным. Последнее понятно: диаграммам теории возмущений соответствуют многократные интегралы от произведений пропа-гаторов, а поточечная сходимость ( 31) не является достаточно хорошей для того, чтобы обеспечить возможность предельного перехода под знаком интеграла. [32]

Позже стало понятно, что это - универсальное математическое правило ( если факторы действуют совместно, но взаимозависимо) более высокого уровня, чем дифференцирование и интегрирование функций. Это правило касается перехода от многомерных интегралов к многократным интегралам. [33]

Для таких теорий характерно представление зависимостей в виде однократных или многократных интегралов. [34]

Схема программы для расчета собственной индуктивности кругового плоского диска. [35]

На первый взгляд может показаться, что такой метод расчета интегральных характеристик замкнутых витков приведет к большой трудоемкости вычислений. И действительно, трудоемкость вычислений при ручных методах расчета становится практически непреодолимой. Однако дело существенно изменяется, если все вычисления производить на современных универсальных электронных вычислительных машинах, снабженных развитой системой математического обеспечения, имеющих готовые подпрограммы вычисления многократных интегралов, решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, а также простые языковые средства формулировки задач. [36]

В свое время считалось, что вириальное уравнение состояния может описать тройную точку и критические явления. При высокой плотности ( жидкость) характер сходимости вириального ряда резко ухудшается, становится необходимым знание большего числа членов, а практический расчет вириальных коэффициентов ограничен трудностями вычисления многократных интегралов. В настоящее время проведен расчет семи вириальных коэффициентов системы твердых сфер и нескольких низших коэффициентов для более реалистических потенциалов. Поэтому важным является вопрос о повышении скорости сходимости рядов разложения термодинамических функций. [37]

Ясно, что точность вычисленных статистических характеристик зависит от количества и от точности найденных коэффициентов Фурье. Для вычисления коэффициентов необходимо иметь реализации случайных функций Xi ( Vi, V-2 -, , Vi ] i), которые находятся численным интегрированием системы дифференциальных уравнений при конкретных значениях случайных величин. Общее число интегрирований системы резко возрастает при увеличении количества выборок случайных величин ( N - - QiQ2 - Qi), поэтому расчет даже на современных быстродействующих ЭВМ может занять значительное время. Следовательно, необходимо выбирать, такие методы вычисления многократных интегралов, которые обеспечивают при возможно меньшем количестве выборок случайных величин как можно более точное вычисление коэффициентов Фурье. [38]

Согласно этим правилам, для вычисления матричного элемента к. Фейнмана этого порядка и затем с каждой из диаграмм по пек-рым правилам соответствия сопоставить определ. Общая теория неренормировок позволяет избавиться от всех УФ-расходимостей в матричных элементах и получить конечные однозначные результаты в произвольных, в принципе сколь угодно высоких порядках по степеням а. Конечные вклады высоких порядков можно представить в виде несингулярных многократных интегралов по нек-рым числовым параметрам. [39]

Предположим формально, что все потенциалы имеют множитель g, который в конечных результатах следует положить равным единице. Термодинамическая теория возмущений дает рецепт вычисления коэффициентов при любой степени g в виде многократных интегралов. Структура каждого интеграла изображается некоторой диаграммой, состоящей из сплошных и пунктирных линий и узлов, - из каждого узла исходят три линии: две сплошные и одна пунктирная. Сформулирован рецепт, как по виду диаграммы нужно написать выражение для соответствующего многократного интеграла. Подобная диаграммная техника была ранее разработана Фейнманом в квантовой электродинамике. [40]

Тенденция полностью использовать прочностные резервы материала, проектирование конструкций минимального веса и другие требования приводят к необходимости учета геометрической и физической нелинейности. Концепции, основанные на физических представлениях, частично рассмотрены выше. Теперь следует остановиться на математических теориях. В этой монографии на основании работ Вольтерры и Фреше 84 - 85 развиваются идеи о представлении связи между деформациями, напряжениями и временем в виде ряда многократных интегралов. [41]

Для тех, кто действительно ищет рациональный вариант, это крайне важно. Это также важно для экспертов, кто в заданные ограниченные сроки ревизует поиск рационального варианта. Сообщество ученых не только понимало необходимость выделения действующих факторов, но также понимало, что действие этих факторов должно быть значимо и взаимно независимо. В математике это позволяет от многомерного интеграла перейти к многократному интегралу, что радикально упрощает решение. [42]

Следовательно, при таких плотностях условие эргодичности фактически выполняется. С другой стороны, при достаточно высоких плотностях оно не выполняется, по крайней мере в узком смысле. Гексагональная плотноупакованная конфигурация несовместима с заданным значением N и формой V. Теперь предположим, что, когда V становится немного больше FO, каждая из этих точек расширяется, переходя в замкнутое гнездо, или область допустимых состояний, причем при достаточно малом расширении с фиксированным числом N каждое такое гнездо изолировано от других. Если V лишь незначительно превышает У0, то последнее условие соответствует условию 8 а. Многократный интеграл ( 1), модифицированный с учетом ( 34), соответствует усреднению по всем таким гнездам, тогда как случайные блуждания метода Монте-Карло, как мы это уже видели, воспроизводят среднее значение ( / только по одному гнезду, в котором выбрано начальное состояние. Тем не менее в данном случае оба подхода эквивалентны для любой функции / ( х), симметричной относительно перестановки молекул, так как при этом интегралы по различным гнездам идентичны между собой. [43]

Таким образом, сложность определения функции распределен ния времени существования дефекта U ( t) в параметрической постановке существенно зависит от выбранной схемы расчета. Если состояние дефекта задано случайной величиной х, а пределы допустимого изменения - случайными величинами хя и хв, то при известной совместной плотности вероятности этих случайных величин получение решения не представляет принципиальной трудности. При описании состояния дефекта одной случайной функции, когда допустимые пределы ее изменения заданы постоянными величинами, задача определения функции распределения довольно просто решается в общем виде, если известен закон совместного распределения ординаты функции и ее первой производной в каждый момент времени. Задача определения функции распределения усложняется при использовании вектора случайных функций для описания состояния дефекта и детерминированных функций в качестве границ пространств работоспособных состояний. Задача практически разрешима, если известен совместный закон распределения вектора случайных функций в каждый момент времени. Усложнение обусловлено необходимостью вычисления многократных интегралов, особенно при большой размерности вектора состояния и произвольном законе распределения его компонент. [44]

Сравнение функций распределения Максвелла ( м., Ферми - - Дирака ( Ф - Д. и Бозе - Эйнштейна ( Б. - Э.. [45]

Страницы: 1 2 3 4