Вывод - уравнение - больцман
Cтраница 1
Вывод уравнения Больцмана Кирквудом ( 1947)) также основывается на уравнении Лиувилля. Он использовал последнее, чтобы вывести уравнение для расширенной функции распределения. [1]
Вывод уравнения Больцмана, изложенный в § 85, идея которого принадлежит самому Больцману, не может считаться строгим. Действительно, запись этого уравнения, как уравнения непрерывности в / / - пространстве с источниками ( интеграл столкновений) в правой части, предполагает, во-первых, что изменение во времени функции распределения / ( г, v, t) аддитивно относительно двух процессов, имеющих различное происхождение. Члены Vtdf / fljc - и w - d / / flu - в левой части (85.9) характеризуют потоки газа, возникающие вследствие существования градиента плотности и внешних полей, в то время как правая часть возникает вследствие учета столкновений молекул. Таким образом, предполагается, что потоки и столкновения не влияют друг на друга. Во-вторых, в интеграле столкновений значения функций /, /, /, / берутся в одной и той же точке пространства г, в то время как с учетом конечных размеров молекул координаты в функциях /, / ив функциях /, / должны быть выбраны различными. [2]
Это завершает вывод уравнения Больцмана методом Трэда. [3]
Простейший способ вывода уравнения Больцмана заключается в следующем. [4]
Однако при выводе уравнения Больцмана ( 153) допущена одна неточность. Хотя член столкновений по самому своему смыслу описывает случайные соударения молекул, от этого члена сохранена только средняя по времени часть. Оказывается, что эта добавка, играющая роль сторонней случайной силы, не дает возможности для полной релаксации /, а непрерывно возобновляет тепловые флуктуации. Эти флуктуации удобно разбить на два класса: индивидуальные и коллективные. Индивидуальные флуктуации относятся к масштабам, меньшим длины пробега, когда движение частиц можно считать свободным. А для масштабов, больших А, следует говорить о коллективных флуктуациях. [5]
Теперь вернемся к выводу уравнения Больцмана и детально обсудим предположения, использовавшиеся в наших рассуждениях. [6]
Как и при выводе уравнения Больцмана, считаем, что столкновения между частицами являются парными. Иначе говоря, столкновениями трех и большего числа частиц будем пренебрегать, что допустимо в случае малой объемной концентрации взвешенных частиц. [7]
Изложим вкратце основные этапы вывода уравнения Больцмана, ограничиваясь простейшим случаем одноатомного газа. Таким образом, предполагаем, что при ударе молекул не происходит взаимного превращения внутренней энергии и энергии поступательного движения, нет потерь энергии вследствие деформации при ударе. Считаем, что возможны только бинарные столкновения, длина среднего пути свободного пробега достаточно велика по сравнению с диаметром молекулы, все направления движения равновероятны и удовлетворяются ньютоновские законы сохранения количества движения и энергии. [8]
В книге [10] излагается также вывод уравнений Больцмана, описывающих газовые смеси и многоатомные газы. [9]
Следует заметить, что при выводе уравнения Больцмана мы следим за молекулами вдоль их фазовой траектории. [10]
Эта тема была частично затронута при выводе уравнения Больцмана для газа из твердых сфер ( см. разд. Там обсуждение граничных условий, которым удовлетворяет ЛЛчастичная функция распределения, понадобилось для того, чтобы избавиться от некоторых интегралов по поверхности. Ясно, что такие условия требуются и для решения уравнения Больцмана, так как оно содержит производные от ( по координатам. [11]
Имеет смысл еще раз напомнить допущения, использованные при выводе уравнения Больцмана из уравнения Лиувилля. [12]
Читатель не может не обратить внимание на коренное различие приводимого здесь вывода уравнения Больцмана ( который в основном следует выводу самого Больцмана) и стохастического подхода, развитого в разд. Представленный здесь вывод является почти чисто механическим. [13]
Метод состоит в моделировании на ЭВМ элементарных процессов и статистических гипотез, лежащих в основе вывода уравнения Больцмана. В различных вариантах метода применяются различные способы разыгрывания пробегов и столкновения молекул. Естественно, это требует большого объема вычислений. [14]
Страницы: 1 2 3