Cтраница 2
Если же ju 0, то у множества цХ существует инфимум. [16]
Следствие 1.34. Для любой убывающей в смысле отношения 3 цепочки сверхслов найдется инфимум. [17]
Наличие порядка позволяет ввести естественные понятия мажоранты, миноранты, супремума, инфимума. Если множество М СЕ имеет мажоранту, то его называют ограниченным сверху; если имеет миноранту - ограниченным снизу. Ограниченное и снизу и сверху множество называют ограниченным, или ограниченным по полуупорядоченности. [18]
Аналогично, рассматривая обратный порядок, определяют точную нижнюю грань Inf А ( Инфимум А) любого минорированного подмножества А. [19]
Решеткой называется ч.у.м. 21 ( А, ), в котором каждая пара элементов имеет супремум и инфимум. [20]
При & 1 утверждение 1) получается из гравнения формул ( 12) и ( 29), поскольку во второй инфимум берется по более узкому множеству. [21]
Отметим, что во втором из примеров, приведенных в начале этого пункта, супремум, очевидно, есть объединение множеств, а инфимум - пересечение. [22]
Если функция Беллмана V ( t, х) удовлетворяет уравнению Беллмана, то отсюда не следует, что управление, при котором достигается инфимум в (1.10), является оптимальным. [23]
Разумеется, здесь и дальше во всех случаях, когда будет установлена достижимость тех или иных экстремумов из (3.1), мы получим основание называть супремумы - максимумами, а инфимумы - минимумами. [24]
Какутани ( источник - частная беседа) предлагает выбрать М точек Рт внутри единичного квадрата [ О, I ] 2 и рассмотреть выражение inf PmPm i 2, в котором инфимум вычисляется по всем линиям, соединяющим точки Рт последовательно. Он доказывает, что inf 8, но полагает, что этот предел не является наилучшим. [25]
При возрастании п расширяется множество, по которому берется инфимум. Следовательно, этот инфимум не растет. [26]
У) всех подмногообразий многообразия У образует относительно включения полную решетку, которая ( как и в случае любых универсальных алгебр) антиизоморфна решетке всех вполне характеристических конгруэнции на У-свободной полугруппе счетного ранга. В этой решетке инфимум совпадает с теоретико-множественным пересечением, причем если для семейства Ti, , имеет место У / уаг. [27]
В), если а - наименьшая из верхних граней множества В. А называется точной нижней гранью ( инфимумом) множества В ( обозначается inf В), если а - набольшая из нижних граней множества В. [28]
Если допустимые области как прямой, так и двойственной задачи не пусты, то из ( 24) сразу следует, что sup h и inf /, взятые на соответствующих ограничивающих множествах, являются конечными. Не обязательно, конечно, чтобы супремум или инфимум достигались в некоторой допустимой точке. Если же это имеет место, то из ( 24) вытекает, что если как прямая, так и двойственная имеют допустимые планы, то обе они имеют оптимальные решения. Это всегда справедливо для линейных задач и было бы справедливо и здесь, если бы мы захотели заменить на супремум максимум и на инфимум минимум в формулировке прямой и двойственной задач. Другие результаты, немедленно следующие из ( 24), сформулируем в виде следствий. [29]
При изучении множеств М СЕ используются также понятия максимального и минимального элементов. Эти понятия не нужно путать с супремумами и инфимумами, принадлежащими М; более того, максимальный элемент может не быть верхней границей, а минимальный - нижней. Мажоранты, миноранты, супремумы и инфимумы существуют не всегда. Если для любых двух элементов из Е существует мажоранта, то Е называют направленным. Если юхукух следует равенство х у ( как это часто бывает), то и супремум и инфимум единствен. [30]