Cтраница 3
Если f супергармоническая, то sup в ( 1) заменяется на inf и неравенство в ( i) обращается. Если f гармоническая, то f не достигает ни супремума, ни инфимума, за исключением случая, когда f не константа. [31]
Идея использования обобщенного решения вместо обычного основана на том факте, что задача оптимизации для уравнения ( 4) с ограничениями ( 2), вообще говоря, не имеет решения в классе обычных управлений. Однако, если мы имеем оптимальное обобщенное решение согласно определению 3, тогда значение критерия качества для этого решения дает нам инфимум в классе всех допустимых управлений. [32]
G ( 0) шг ен G ( х), остается показать, что G ограничена снизу и достигает своего инфимума. [33]
Если не оговорено противное, то мы рассматриваем случай, когда алфавит Л конечен. Правые сверхслова относительно левого лексикографического порядка ( а левые - относительно правого) образуют линейно упорядоченное множество, при этом для каждого подмножества существует инфимум и супремум. [34]
При изучении множеств М СЕ используются также понятия максимального и минимального элементов. Эти понятия не нужно путать с супремумами и инфимумами, принадлежащими М; более того, максимальный элемент может не быть верхней границей, а минимальный - нижней. Мажоранты, миноранты, супремумы и инфимумы существуют не всегда. Если для любых двух элементов из Е существует мажоранта, то Е называют направленным. Если юхукух следует равенство х у ( как это часто бывает), то и супремум и инфимум единствен. [35]
При написании книги авторы стремились ориентироваться на возможно более широкий круг специалистов, занимающихся проблемами анализа и совершенствования организационного управления в народном хозяйстве. С этой целью вопросы, носящие в определенной степени чисто математический характер, в материал книги не включались. Так, например, везде при рассмотрении тех или иных задач оптимизации предполагалось, что рассматриваемые максимумы и минимумы существуют. При этом считалось, что в тех случаях, когда это не так, замена максимума на супремум, минимума на инфимум, а оптимальных решений на е-оптималъные позволяет, хотя и с большими техническими трудностями, провести рассмотрение того или иного результата. [36]
Если допустимые области как прямой, так и двойственной задачи не пусты, то из ( 24) сразу следует, что sup h и inf /, взятые на соответствующих ограничивающих множествах, являются конечными. Не обязательно, конечно, чтобы супремум или инфимум достигались в некоторой допустимой точке. Если же это имеет место, то из ( 24) вытекает, что если как прямая, так и двойственная имеют допустимые планы, то обе они имеют оптимальные решения. Это всегда справедливо для линейных задач и было бы справедливо и здесь, если бы мы захотели заменить на супремум максимум и на инфимум минимум в формулировке прямой и двойственной задач. Другие результаты, немедленно следующие из ( 24), сформулируем в виде следствий. [37]
При изучении множеств М СЕ используются также понятия максимального и минимального элементов. Эти понятия не нужно путать с супремумами и инфимумами, принадлежащими М; более того, максимальный элемент может не быть верхней границей, а минимальный - нижней. Мажоранты, миноранты, супремумы и инфимумы существуют не всегда. Если для любых двух элементов из Е существует мажоранта, то Е называют направленным. Если юхукух следует равенство х у ( как это часто бывает), то и супремум и инфимум единствен. [38]
Аналогично определяются ограниченность снизу и нижняя граница. Подмножество А с: X называется ( порядковой ограниченным, если оно одновременно ограничено и сверху и снизу. Если А с X, то элемент еЛ называется 1) наибольшим ( в Л), если х а для любого аеЛ; 2) максимальным ( в Л), если из х а для ае Л следует, что л: а. Аналогично определяются наименьший и минимальный элементы. Если Л - ограниченное снизу подмножество X, то его наибольшая нижняя граница ( если таковая существует) называется инфимумом ( или нижней гранью) множества А и обозначается inf А. [39]