Cтраница 3
Покажите, что если / gDiff1 ( М) является грубым и имеет конечное число периодических точек, то / - диффеоморфизм Морса - Смейла. [31]
Если f удовлетворяет аксиоме А и строгому условию трансверсальности, то условие h ( f О эквивалентно тому, что f - диффеоморфизм Морса - Смейла. [32]
Затем мы покажем, что для односвязных многообразий размерности - не меньше шести это чисто алгебраическое гомологическое свойство является достаточным условием для того, чтобы в связной компоненте пространства Diff M содержался диффеоморфизм Морса - Смейла. [33]
Это приводит к естественному вопросу о том, верно ли, что любой квазиунипотеитный элемент группы GL ( n, Z) определяет связную компоненту пространства Diff ( Tn), которая содержит диффеоморфизм Морса - Смейла. [34]
В силу теоремы Боуэна [2], топологическая энтропия отображения равна топологической энтропии ограничения этого отображения на множество его неблуждающих точек. Поэтому топологическая энтропия диффеоморфизма Морса - Смейла равна нулю. [35]
Другой интересный пример связан с матрицами с неотрицательными элементами. Мы просто реализуем матрицу как действие в двумерных гомологиях диффеоморфизма Морса - Смейла на многообразии с краем, которое получается раздуванием букета двумерных сфер. [36]
Хотя множество грубых систем в Diff ( Al) и в Зсг ( М), вообще говоря, не является плотным, тем не менее оно достаточно обширно, как мы сейчас укажем. Прежде всего, такие системы существуют на любом многообразии; диффеоморфизмы Морса - Смейла являются типичными примерами. Иными словами, всякий диффеоморфизм может быть соединен с некоторым грубым непрерывной дугой диффеоморфизмов. [37]
Аргументы из алгебраической геометрии показывают, что элемент Xf лежит в подгруппе Р, если диффеоморфизм / строится при монодромии на алгебраическом многообразии. Таким образом, в односвязном случае такой диффеоморфизм / изотопен диффеоморфизму Морса - Смейла. [38]
С этой точки зрения тождественный диффеоморфизм не является простым, так как структура траекторий у его возмущений изменяется коренным образом. Мы уже отметили, что при таком подходе самыми простыми среди известных диффеоморфизмов оказываются диффеоморфизмы Морса - Смейла. Это обстоятельство мотивирует следующее определение. [39]
На первый взгляд может показаться, что доказательство грубости диффеоморфизма /, имеющего бесконечное число периодических точек, должно быть очень сложным. Диффеоморфизмы Морса - Смейла, напротив, должны иметь источники и стоки, а обычно также и седла. [40]
Множества йг называются базисными множествами. Транзитивность 2) означает, что в каждом йг существуют плотные траектории. В случае диффеоморфизмов Морса - Смейла базисные множества являются периодическими траекториями. В общем случае эти базисные множества могут обладать значительно более сложной структурой, как мы увидим в примерах. Как и в случае Морса - Смейла, они могут быть притягивающего, отталкивающего и седлового типа. В примерах 3 - 6 будут представлены различные интересные непериодические базисные множества, являющиеся аттракторами, репеллерами и типа седел. [41]
Структура множества неблуждающих точек Q полученного диффеоморфизма определяется геометрическими матрицами пересечений. Но эти матрицы являются матрицами виртуальных перестановок с собственными значениями на единичной окружности. Таким образом, множество Q состоит из конечного числа точек и построенный диффеоморфизм является диффеоморфизмом Морса - Смейла. [42]
В случае когда отображение / не взаимно однозначно, величину hh ( fnak) следует вычислять, конечно, с учетом кратности. Оговорка о типичности симплекса перед неравенством ( 6) очень существенна. Как заметил Г. А. Маргулис, без этой оговорки неравенство ( 6) может не выполняться даже для диффеоморфизмов Морса - Смейла. Правда, в его примерах либо симплекс, либо диффеоморфизм имеет лишь конечную гладкость. [43]