Cтраница 3
Пишем ds, а не dS, так как рассматривается случай двух переменных; таким образом, ds - дифференциал дуги границы. [31]
Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого типа надлежит заменить в подинтегралъной функции переменные х и у выражениями координат через параметр, а множитель ds - дифференциалом дуги как функции параметра. Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла ( 4) должен быть меньше верхнего. [32]
Эта формула аналогична ( 33), с той разницей, что абсолютная величина dr / ds, равная отношению бесконечно малого угла поворота касательной ( угла смежности) к дифференциалу дуги траектории, определяет кривизну 1 / р траектории, тогда как абсолютная величина db / ds равна отношению бесконечно малого угла поворота бинормали к тому же дифференциалу дуги. Это отношение называют кручением кривой и обозначают через 1 / х, где х - радиус кручения. В отличие от кривизны кручение может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от того, будет ли кривая закручиваться вокруг своей касательной подобно правому или левому винту, так что знак кручения будет совпадать со знаком ют. [33]
Мы будем слагать такие течения, предполагая, что они определяются координатами точек, непрерывно распределенных по линии, по поверхности или внутри объема, и что они имеют скорости, пропорциональные дифференциалу дуги, площади или объема. Таким образом, получаются, например, сложные движения, слагающиеся из бесчисленного множества истечений или вихревых движений, в предположении, что данная поверхность или данный объем представляют непрерывную последовательность точек истечения или вихревых осей. [34]
АВ; тх и ту - статические моменты этой дуги относительно осей Ох и О у; б ( М) - линейная плотность распределения массы в точке М ( х, у) дуги; dl - дифференциал дуги; ( А) и ( В) обозначают значения выбранной переменной интегрирования в точках А и В. [35]
Эта формула аналогична ( 33), с той разницей, что абсолютная величина dr / ds, равная отношению бесконечно малого угла поворота касательной ( угла смежности) к дифференциалу дуги траектории, определяет кривизну 1 / р траектории, тогда как абсолютная величина db / ds равна отношению бесконечно малого угла поворота бинормали к тому же дифференциалу дуги. Это отношение называют кручением кривой и обозначают через 1 / х, где х - радиус кручения. В отличие от кривизны кручение может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от того, будет ли кривая закручиваться вокруг своей касательной подобно правому или левому винту, так что знак кручения будет совпадать со знаком ют. [36]
Во всех уравнениях этой книги ds означает дифференциал дуги, находящейся в рассматриваемом состоянии нити, в частности, если нить растяжима, то ds - дифференциал дуги растянутой нити. [37]
Если в качестве модели n - мерного гиперболического пространства взять верхнее полупространство Ki с метрикой, в которой дифференциал дуги имеет вид ds dx / xn, то, как уже отмечалось, каждая его изо-метрия есть продолжение в Я мебиусова отображения пространства Rn - l, и наоборот. [38]
Для вычисления дифференциально-геометрических величин т, К, v, р, Т нам придется вычислять производные по дуге. При этом мы будем систематически пользоваться тем, что производная всякой функции по дуге равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу Дуги. [39]
Во всех уравнениях этой книги ds означает дифференциал дуги, находящейся в рассматриваемом состоянии нити, в частности, если нить растяжима, то ds - дифференциал дуги растянутой нити. [40]
Пусть а, р суть координаты точек плоскости, на которую налагается поверхность. В виду сохранения длин, прямым, которые суть линии кратчайшего расстояния на плоскости, должны соответствовать геодезические линии на поверхности. Меняя а, р вдоль прямой ( D) произвольного направления, мы можем считать da и а постоянными; тогда дифференциал дуги на плоскости ds Yd у. J - d ji8, являющийся также дифференциалом дуги и для соответствующей геодезической линии ( g), тоже остается постоянным. [41]
Мы можем представить себе электротоническое состояние в какой-нибудь точке пространства как некоторый определенный по величине и направлению вектор и можем это электро тоническое состояние выразить в данной точке пространства с помощью какого-нибудь механического вектора, например скорости или силы, направление и величина которых соответствуют направлению и величине определенного нами электротонического состояния. Такое представление не связано ни с какой физической теорией, а является только своего рода искусственной иллюстрацией. Помножая эту составляющую на дифференциал дуги кривой и интегрируя вдоль всей кривой, мы получаем то, что назовем полной влектратонической интенсивностью вдоль замкнутой кривой. [42]
Пусть а, р суть координаты точек плоскости, на которую налагается поверхность. В виду сохранения длин, прямым, которые суть линии кратчайшего расстояния на плоскости, должны соответствовать геодезические линии на поверхности. Меняя а, р вдоль прямой ( D) произвольного направления, мы можем считать da и а постоянными; тогда дифференциал дуги на плоскости ds Yd у. J - d ji8, являющийся также дифференциалом дуги и для соответствующей геодезической линии ( g), тоже остается постоянным. [43]