Cтраница 1
Конечно-разностные выражения могут быть получены также при использовании аппроксимирующей аналитической функции со свободными параметрами, которая строится со значениями в узлах сетки и затем аналитически дифференцируется. [1]
Конечно-разностные выражения получают также при использовании аппроксимирующей аналитической функции со свободными параметрами, которую строят со значениями в узлах сетки, а затем аналитически дифференцируют. Вид аппроксимирующей функции должен определяться приближенным аналитическим решением или на основе экспериментальных данных. Как правило, в качестве аппроксимирующих функций применяют полиномы не более второго порядка. [2]
Применение конечно-разностных выражений (5.1) для аппроксимации оператора L () в случае гладких решений дает вполне приемлемую точность. Чтобы повысить точность решения при исследовании функций, обладающих высокими градиентами, необходимо повторять процесс вычислений с более мелким шагом сетки fix. Исследуя локальные возмущения, такая ситуация возникает при расчете оболочек с быстро изменяющимися геометрическими параметрами и толщиной. [3]
Существуют и другие конечно-разностные выражения. При аппроксимации производных удобно пользоваться шаблонами, приведенными на рис. 2.3. Шаблоны на рис. 2.3, с - г используются для одномерных задач, а на рис. 2.3, д - ж - для двумерных. [4]
Этот метод получения конечно-разностных выражений основан на применении аппроксимирующей аналитической функции со свободными параметрами, которая строится по значениям в узлах сетки, а затем аналитически дифференцируется. [5]
Дифференциальные операторы заменяются соответствующими алгебраическими конечно-разностными выражениями. В итоге исходное дифференциальное уравнение и краевые условия аппроксимируются системой разностных уравнений, или, как говорят, разностной схемой. Решив систему алгебраических уравнений, получим приближенное значение искомой функции в узлах сетки. [6]
Аналогично представляется возможным получить конечно-разностные выражения как для производных, так и для соответствующих дифференциальных операторов. [7]
При записи этих соотношений использовались конечно-разностные выражения для первых производных, полученные в подразд. [8]
Здесь также отметим, что конечно-разностное выражение в уравнении (4.4), аппроксимирующее дифференциальный оператор, полностью совпадает со схемой, приведенной в 2.1 для уравнения диффузии в случае разрывных коэффициентов. [9]
Читатель заметит, что приведенное здесь конечно-разностное выражение аналогично уравнению в этом узле, полученному ансамблированием по треугольным элементам. Однако в конечно-разностном выражении значение Q в узле 1 равно величине нагрузки, тогда как в конечно-элементной форме использовано весовое среднее значение нагрузки, распределенной между примыкающими элементами. Если Q не равно постоянной, то это приводит к получению разных выражений. [10]
Отметим, что существуют различные формы конечно-разностных выражений для производных. Вопрос о разностных выражениях подробнее рассматривается в следующей главе. Если исходное дифференциальное уравнение линейное, то задача будет состоять в решении системы линейных алгебраических уравнений. Если же исходное дифференциальное уравнение нелинейное, задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. [11]
Заметим, что данный прием дает также необходимый вид конечно-разностных выражений для кинематических и силовых граничных условий на контурах оболочки. [12]
Аппроксимация определяет только погрешность от замены производной или дифференциального уравнения конечно-разностным выражением. Если, например, скорость точки мы вычисляем как первую разность от перемещений по времени при известном значении перемещений, то величина ошибки равна погрешности вычисления скорости. Если же решение задачи нам неизвестно, то аппроксимация говорит лишь о том, что решение системы разностных уравнений будет похожим на точное решение, что уменьшение шагов сетки приводит к уменьшению погрешностей и что порядок погрешностей определяется порядком аппроксимации. [13]
В методе конечных разностей алгебраизация производных по пространственным координатам базируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями. При использовании метода нужно выбрать шаги сетки по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают множество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке. [14]
При переходе к численной постановке вторые пространственные производные и первые временные производные заменяют соответствующими конечно-разностными выражениями. [15]