Cтраница 3
Большое значение для дальнейшего развития теории множеств имела построенная Н. Н. Лузиным операция решета. Систематическое использование операции решета позволило Л у з и ну [25] придать теории А-множеств законченный и чрезвычайно изящный вид. Этот же аппарат показал, что всякое А-множество, и также всякое С А-множество является суммой Xi попарно не пересекающихся В-множеств, получивших название конституант. Этим, в частности, без помощи аксиомы Цермело отрезок был представлен как сумма Хл В множеств. Оказалось, что во многих случаях счетная сумма конституант СА-множества является носителем основных свойств всего множества. Например, если некоторое А-множество содержится внутри некоторого СА-множестеа, то оно непременно содержится внутри счетного числа конституант. Отсюда следует, что если СА-множество имеет совершенное ядро, то оно имеет конституанту с совершенным ядром. Если некоторое СА-множество имеет положительную меру, то найдется счетное число ко конституант, таких, что их сумма имеет ту же меру. [31]
Вопрос о том, какова мощность множества связных компонент б-множеств был решен с привлечением методов дескриптивной теории множеств. Элементарными средствами А. М. Роднянский доказал, что мощность множества связных компонент F, либо не более, чем счетная, либо континуум. В доказательстве этого факта существенную роль играют методы дескриптивной теории множеств, в частности теорема Н. Н. Лузина о стационарности последовательностей F. Дальнейшее исследование этого вопроса было проведено молодым казахским математиком А. Одним из наиболее ранних применений дескриптивной теории множеств в смежных областях был результат П. С. Урысона о том, что множество достижимых точек границы пространственной области всегда является А-множеством, но может не быть В-множеством. [32]
Большое значение для дальнейшего развития теории множеств имела построенная Н. Н. Лузиным операция решета. Систематическое использование операции решета позволило Л у з и ну [25] придать теории А-множеств законченный и чрезвычайно изящный вид. Этот же аппарат показал, что всякое А-множество, и также всякое С А-множество является суммой Xi попарно не пересекающихся В-множеств, получивших название конституант. Этим, в частности, без помощи аксиомы Цермело отрезок был представлен как сумма Хл В множеств. Оказалось, что во многих случаях счетная сумма конституант СА-множества является носителем основных свойств всего множества. Например, если некоторое А-множество содержится внутри некоторого СА-множестеа, то оно непременно содержится внутри счетного числа конституант. Отсюда следует, что если СА-множество имеет совершенное ядро, то оно имеет конституанту с совершенным ядром. Если некоторое СА-множество имеет положительную меру, то найдется счетное число ко конституант, таких, что их сумма имеет ту же меру. [33]