Cтраница 3
Гретша принцип, Гретша теоремы, Полос метод, Квадратичный дифференциал, Вибербаха - Эйлепберга функции, Экстремальной метрики метод. [31]
Всякий линейный дифференциал h ( z) dz или квадратичный дифференциал Q ( z) dz - порождает К. [32]
Как дифференциал Шоттки, Q ( z) dz2 продолжается до квадратичного дифференциала на SR, который, как легко проверить, является положительным. [33]
Нули и полюсы Q ( z) dz2 называются критическими точками этого квадратичного дифференциала. Нули и простые полюсы называются конечными критическими точками; их совокупность будет обозначаться через С. [34]
Если 31 -риманова поверхность, a Q ( z) dz2 - заданный на 31 квадратичный дифференциал, то на множестве № ( С () Н) локально определен интеграл ( Q ( z) yi - - dz как регулярная функция, не зависящая от выбора локальных параметров. Но, вообще говоря, этот интеграл не будет, конечно, однозначно определен в целом. [35]
Большое внимание в ряде исследований теории однолистных функций уделяется доказательству того факта, что для рассматриваемого квадратичного дифференциала Q ( z) dz2 множество Ф пусто. Нахождение условий, обеспечивающих пустоту множества Ф, представляет и самостоятельный интерес. Пример квадратичного дифференциала Q ( z) dz2 на z - сфере, для к-рого множество Ф пусто, дает следующая теорема о трех полюсах: если Л есть z - сфера, Q ( z) dz - - квадратичный дифференциал на Л, имеющий не более трех различных полюсов, то множество Ф пусто. [36]
Тейхмюллер [164] высказал принцип, состоящий в том, что решение некоторых экстремальных задач геометрической теории функций связано с некоторым квадратичным дифференциалом. Если в такой задаче предполагается, что фиксирована некоторая точка, и нет никаких других ограничений, то квадратичный дифференциал будет иметь в этой точке простой полюс. Более общо, можно не требовать, чтобы наивысшая из встречающихся производных была фиксированной, а лишь наложить некоторые условия на ее область изменения. [37]
В работе Шеффер а и Спенсера [182] о проблеме коэффициентов для однолистных функций значительное внимание уделено доказательству того, что для некоторых специальных квадратичных дифференциалов на сфере множество Ф пусто. [38]
Легко видеть, что последнее возможно лишь тогда, когда существует конформное отображение, переводящее 31, PJ и Q ( г) dz2 соответственно в круг г 1, точку г О и квадратичный дифференциал - / С dz2 / z2 с положительным / С. [39]
Равенство в (4.7) может выполняться, если имеется двойной полюс PJ, I г, такой, чти а ф 1 только в том случае, когда поверхность 31 конформно эквивалентна сфере, a Q ( z) dz2 - квадратичный дифференциал, единственными критическими точками которого являются два полюса, каждый второго порядка. Если, далее, ( А) состоит из единственной области, то соответствующая функция конформно эквивалентна линейному преобразованию, неподвижными точками которого служат образы этих полюсов. [40]
Выполнение условий теоремы легко проверяется. Квадратичный дифференциал dz2 регулярен всюду, кроме полюса четвертого порядка в бесконечности. [41]
Легко проверить, что эта функция удовлетворяет условиям определения 4.4 и является, следовательно, допустимой функцией, соответствующей области D. Квадратичный дифференциал имеет единственный полюс Р порядка п 4 в бесконечно удаленной точке. [42]
Очевидно, что критические точки квадратичного дифференциала изолированны. [43]
Эта поверхность - тор, поэтому множество Я должно быть пустым. Легко видеть, что отношение двух таких квадратичных дифференциалов постоянно. [44]
Они приводят к дифференциальным уравнениям для границ экстремальных областей, соответственно для экстремальных функций. Эти последние уравнения еще раз обнаруживают существенную роль квадратичных дифференциалов. [45]