Cтраница 4
Граничные и внутренние вариации при решении экстремальных задач приводят к дифференциальным уравнениям для границ экстремальных областей и, соответственно, для экстремальных функций. Левая часть этих уравнений, как правило, есть нек-рый квадратичный дифференциал. Различные качественные характеристики функций, реализующих экстремум, получаются при исследовании свойств соответствующих квадратичных дифференциалов. В частности, для большого числа экстремальных задач в классе S ( и в других классах) оказывается, что экстремальная функция отображает круг Д на всю плоскость с конечным числом аналитич. Иногда дифференциальное уравнение для экстремальной функции удается проинтегрировать и тем самым получить величину экстремума в исследуемой задаче и все экстремальные функции. Чаще удается лишь получить одно или несколько конечных уравнений для величины экстремума. Нек-рые результаты, полученные вариационным методом, перечислены ниже. [46]
Поэтому эти функции образуют допустимое семейство, соответствующее рассматриваемому допустимому семейству областей. По теореме 3.4, все коэффициенты а - ) для квадратичного дифференциала Q ( w) dwz вещественны и отрицательны. [47]
Пусть Жесть z - сфера, Q ( z) dz2 - квадратичный дифференциал, имеющий не более трех различных полюсов. Тогда, в обозначениях теоремы 3.5, множество Ф пусто. [48]
Таким образом, на 31 выполнены все условия теоремы 4.1, а сумма в левой части (4.7) заменяется удвоенной суммой. Это показывает, что достаточно доказать неравенство (4.7) в предположении, что квадратичный дифференциал не имеет простых полюсов на римановой поверхности. [49]
Тейхмюллер [164] высказал принцип, состоящий в том, что решение некоторых экстремальных задач геометрической теории функций связано с некоторым квадратичным дифференциалом. Если в такой задаче предполагается, что фиксирована некоторая точка, и нет никаких других ограничений, то квадратичный дифференциал будет иметь в этой точке простой полюс. Более общо, можно не требовать, чтобы наивысшая из встречающихся производных была фиксированной, а лишь наложить некоторые условия на ее область изменения. [50]