Cтраница 3
Наиболее простая процедура оценки локальной размерности состоит в вычислении собственных значений выборочной ковариационной матрицы в локальной области и подсчете числа доминирующих собственных значений. Величина порога, выбранного для отделения доминирующих собственных значений, влияет на оценку размерности. Пусть величина порога Д, составляет е % от величины наибольшего собственного значения. Число объектов, необходимое для оценки числа доминирующих собственных значений, обычно во много раз меньше, чем требуется для оценки самих собственных значений. [31]
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение вариационного метода к вычислению собственных значений и собственных функций оператора Гамильтона. [32]
Основное назначение этого алгоритма состоит в том, чтобы заменить вычисление собственных значений произвольной симметрической матрицы вычислением собственных значений трехдиагональной матрицы. Возможных процедур приведения к трехдиагональной форме достаточно много, и эффективность той или иной из них зависит от того, как в дальнейшем вычисляются собственные значения и векторы трехдиаго-иальной матрицы. [33]
Проверка показывает, что при выбранном методе решения рассматриваемая задача вычисления собственных значений для системы ( 166) - корректна. [34]
Имеет попарно близкие собственные значения и используется для тестирования алгоритмов вычисления собственных значений. [35]
Этот параграф имеет огромное значение для понимания устойчивости многих популярных методов вычисления собственных значений, основанных на преобразовании заданной матрицы к более простому виду. [36]
Многие теоретические и прикладные задачи, в которых используются матричные представления, сводятся к вычислению собственных значений и собственных векторов матриц. Несколько примеров таких задач приводится ниже. [37]
Основное назначение этого алгоритма состоит в том, чтобы заменить вычисление собственных значений произвольной симметрической матрицы вычислением собственных значений трехдиагональной матрицы. Возможных процедур приведения к трехдиагональной форме достаточно много, и эффективность той или иной из них зависит от того, как в дальнейшем вычисляются собственные значения и векторы трехдиаго-иальной матрицы. [38]
Вообще говоря, такое приведение не позволяет определить главные миноры матрицы А, что необходимо при вычислении собственных значений. Если матрицу А можно представить в виде В - Xl, где В - симметрическая матрица, то число совпадений знаков у последовательных главных миноров Рг ( Р0 присвоено значение 1) равно числу собственных значений матрицы В, больших Я. Рассмотрим сначала этот метод для полной матрицы А. При его использовании решение может быть получено за п - 1 основных шагов. К началу k - ro шага преобразованы только первые k строк исходной матрицы. [39]
В этой главе изложены классические матричные результаты, а затем мало известные их усиления, найденные в связи с необходимостью вычисления собственных значений все больших и больших матриц. Все результаты являются теоремами включения; это значит, что они описывают интервалы, гарантированно содержащие одно или несколько собственных значений А. Последние параграфы показывают, как использовать информацию, имеющуюся, как правило, в конце очередного шага дорогостоящего итерационного метода того типа, что описан в гл. Вычислив соответствующие оптимальные интервалы, итерации можно прекратить в надлежащий момент, когда требуемая точность достигнута. [40]
Таким образом с учетом выполненного преобразования задача определения передаточных функций по векторно-матричному описанию может быть полностью решена на основе QR - алгоритма вычисления собственных значений вещественных матриц. [41]
Если следовать этой идее несколько дальше, мы придем к заключению, что рассмотренный квадратурный процесс может быть применен не только к вычислению собственных значений, но также и к действительному решению дифференциальных уравнений. [42]
Для матрицы степеней каждое из шести тройных произведений будет равняться некоторому числу ( показателю степени соответствующего полинома от переменной X), и задача вычисления собственных значений А, корректна в том случае, если среди этих шести чисел есть только одно наибольшее. Тогда при вариациях параметров степень полинома в общем случае заведомо не изменится, а, значит, не изменится и число собственных значений. Если же среди шести чисел, входящих в определитель ( 156), есть два или более одинаковых наибольших, то при вариациях параметров возможно изменение степени полинома, и задача вычисления собственных значений может быть некорректной. [43]
В самом деле, две матрицы Т различны, но каждая из них с рабочей точностью подобна А, а только это и важно при вычислении собственных значений. Конкретная последовательность подобных матриц, получаемых алгоритмом из этой матрицы А, крайне чувствительна к очень малым возмущениям, порождаемым округлениями. [44]
Трехдиагональные матрицы были выделены в качестве особого предмета еще в 1954 г., когда Уоллес Гивенс предложил приводить малые заполненные матрицы к такой форме в качестве промежуточного этапа при вычислении собственных значений первоначальной матрицы. [45]