Cтраница 3
Поскольку эта функция, как функция одного аргумента х, в случае задачи Коши (1.1), (1.2), в отличие от ее частного случая - рассмотренной уже нами ранее задачи вычисления неопределенного интеграла (5.10.1), - вообще говоря, неизвестна внутри отрезка интегрирования [ х, х - - К ], то использовать непосредственно квадратурные формулы с числом узлов N 2 не удается. [31]
При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной по формуле ( 1) отпадает необходимость возвращения к первоначальной переменной х, как это мы вынуждены были делать в аналогичном случае при вычислении неопределенного интеграла. Это и понятно, - ведь определенный интеграл есть число и потому не зависит от обозначения переменной интегрирования. [32]
Здесь f ( x) dx называется подынтегральным выражением, f ( x) - подынтегральной функцией. Вычисление неопределенного интеграла от данного подынтегрального выражения называется интегрированием. [33]
Таким образом, знаки дифференциала и интеграла уничтожают друг друга. Результат вычисления неопределенного интеграла всегда можно проверить, взяв производную от ответа; при этом должна получиться подынтегральная функция. [34]
Сообщить учащимся, что кроме метода непосредственного интегрирования существуют и другие методы вычисления неопределенных интегралов, одним из которых является метод подстановки. Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования. [35]
Однако они находят себе приложение при интегрировании функций, заданных таблично, вычислении неопределенных интегралов, при решении интегральных уравнений Вольтерра и в других задачах, где существенно, чтобы значения подынтегральной функции вычислялись именно на равномерной сетке. [36]
Формула ( 1) дает простой метод вычисления определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла, которая достаточно полно изучена. [37]
Естественно ожидать ( в силу теоремы Ньютона - Лейбница), что эти правила будут аналогичны соответствующим правилам вычисления неопределенных интегралов. [38]
В случае подынтегральных функций с нерегулярным характером поведения, типа рассмотренных в § 11, применение формул Эйлера и Грегори неэффективно, поскольку производные высших порядков или не ограничены, или очень велики. Поэтому при непосредственном вычислении определенных интегралов эти формулы в настоящее время применяются редко. Однако они используются при интегрировании функций, заданных таблично, при вычислении неопределенных интегралов, при решении интегральных уравнений Вольтерра и других задачах, где существенно, чтобы значения подынтегральной функции вычислялись именно на равномерной сетке. [39]