Cтраница 3
Для ряда классов задач, гдр эти интегралы не вычисляются в явном виде, может оказаться разумным найти эти интегралы при помощи численного интегрирования. Эта дополнительная работа оправдывается, если получившиеся формулы используются многократно, например, при вычислении большой серии интегралов, при вычислении кратных интегралов как повторных ( см. гл. [31]
Следует, однако, ожидать, что, как только будут разработаны приемы численного континуального интегрирования, решение задач при помощи континуальных интегралов приобретет практический интерес. В настоящей заметке предлагается следующий путь расчетов. Континуальный интеграл, записываемый как интеграл по некоторой мере, аппроксимируется конечномерным интегралом Стильтьеса достаточно высокой кратности, который затем и вычисляется обычным образом. Этот путь оказывается вполне приемлемым, так как вычисление кратных интегралов при помощи современной вычислительной техники особых затруднений не вызывает. [32]
В связи с этим появляется необходимость в четком определении понятия меры множества и выяснении ее свойств. Поэтому мы начинаем эту главу с изложения теории меры по Жордану, органически связанной с теорией интеграла Римана. На основе этой теории затем излагается теория кратного интеграла. Важным методом в этой последней является тот факт, что вычисление кратных интегралов может быть сведено к вычислению однократных по каждой переменной в отдельности, что дает возможность применять во многих случаях теорему Ньютона - Лейбница. [33]
В связи с этим появляется необходимость в четком определении понятия меры множества и выяснении ее свойств. Поэтому мы начинаем эту главу с изложения теории меры по Жордану, органически связанной с теорией интеграла Римана. На основе этой теории затем излагается теория кратного интеграла. Важным методом в этой последней теории является тот факт, что вычисление кратных интегралов может быть сведено к вычислению однократных по каждой переменной в отдельности, что дает возможность применять во многих случаях теорему Ньютона-Лейбница. [34]
Многие задачи не были включены в разд. Некоторые задачи были введены в состав материала по результатам экспертного анализа частотных характеристик вопросов на Форуме Пользователей ( http: / / www. Один из типов задач, которые вызывают большое количество вопросов на Форуме, связан с вычислением кратных интегралов в рзличных целях. Решения некоторых типовых задач этого типа приводятся в Прил. [35]
Однако при всем множестве данных в ИСБ, при большом числе имеющихся там простых примеров использования отдельных команд и режимов работы MathCAD Pro, среднему пользователю все же достаточно трудно разобраться во всех возможностях и технике рационального Применения систем MathCAD Pro. Особенно трудно бывает в случаях, когда, действуя в своей задаче, как ему кажется, по инструкциям ИСБ, пользователь из-за какой-либо мелочи ( взаимного расположения фрагментов выражения, графиков, ранжированных переменных; форм алгоритма; обозначений, символов и др.) длительное время не может получить результат. Следует отметить, что множество поясняющих примеров ( Quicksheets) представляют в математическом смысле достаточно простые задачи и дают лишь общее представление о технике использования отдельных команд и режимов MathCAD Pro. Большая часть возникающих на практике задач остается как бы за кадром. В основном это касается решений систем алгебраических уравнений, интегрирования систем дифференциальных уравнений в векторно-матричном виде, решения рекуррентных векторно-матричных соотношений, задач аппроксимации, построения математических моделей, обработки данных наблюдений, нахождения условных и безусловных экстремумов, вычислений кратных интегралов и проч. [36]
Вычисление кратного интеграла связано с интегрированием функции нескольких переменных, заданной в некоторой области, ограниченной в общем случае криволинейными поверхностями. Существует большое число методов вычисления кратных интегралов, которые обычно аналогичны методам вычисления однократных интегралов. Так же как и для однократного интеграла, кратный интеграл заменяется линейной комбинацией значений интегрируемой функции в конечном числе точек. Отличие заключается в том, что область интегрирования является совокупностью точек n - мерного пространства, где п - кратность интеграла. При вычислении кратных интегралов используются те же формулы, что были рассмотрены для однократных интегралов, только примененные по каждой из переменных подынтегральной функции. [37]
Вычисление кратного интеграла связано с интегрированием функции нескольких переменных, заданной в некоторой области, ограниченной в общем случае криволинейными поверхностями. Существует большое число методов вычисления кратных интегралов, которые обычно аналогичны методам вычисления однократных интегралов. Так же как и для однократного интеграла, кратный интеграл заменяется линейной комбинацией значений интегрируемой функции в конечном числе точек. Отличие заключается в том, что область интегрирования является совокупностью точек тг-мерного пространства, где п - кратность интеграла. При вычислении кратных интегралов используются те же формулы, что были рассмотрены для однократных интегралов, только примененные по каждой из переменных подынтегральной функции. [38]
Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число о. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова ( 1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши - Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова ( 1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. [39]