Аксиома - арифметика - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2
В мире все меньше того, что невозможно купить, и все больше того, что невозможно продать. Законы Мерфи (еще...)

Аксиома - арифметика

Cтраница 2


Но при этом суждения а 0, / 3 а не образуют полной альтернативы, так как вполне может случиться, что ни существование, ни несуществование такого рационального числа г не вытекает из аксиом арифметики. Подход, о котором идет речь, оказьюается выполнимым лишь в том случае, если известно: аксиомы непротиворечивы и полны в том смысле, что из двух противоположных собственных суждений U и V обязательно одно и только одно является логическим следствием из аксиом. Этого мы, однако, не знаем, даже если в это и верим. Но если эта вера когда-нибудь превратится в убеждение Einsicht, то можно, пожалуй, быть уверенным, что этого нам удастся достичь лишь на основе наглядного представления итерации элементарных логических умозаключений, поскольку логический вывод и есть такая итерация, бесконечно повторяющаяся в некоей последовательности.  [16]

Напомним определение полноты: теория полна, если для каждого формулируемого на ее языке высказывания А либо А, либо отрицание А является теоремой; и Гедель доказал ( 1931 г.), что если теория непротиворечива и аксиомы формализованной арифметики суть теоремы этой теории, то теория не полна.  [17]

В настоящее время многие считают, что аксиомы будто бы являются постулатами Festsetzungen, что, например, теорема Ферма ( не существует целыхд: Ф О, у Ф О, z Ф 0, п 2, таких, что хп у zn) утверждает лишь, будто суждение, составляющее ее содержание, есть следствие аксиом арифметики. Однако, не говоря уже о том, что такая гипотетико-дедуктивная игра не имеет никакой ценности ( коль скоро не существует такого имеющего значение для познания смысла, который удовлетворяет аксиомам), подобная точка зрения несостоятельна и логически.  [18]

Одна из этих формул, например а, общезначима в естественной интуитивно-математической модели для формализованной арифметики. Добавим формулу - а к аксиомам формализованной арифметики. Полученная таким образом формализованная теория, в силу 11.2, является непротиворечивой.  [19]

Одна нз этих формул, например а, общезначима в естественной интуитивно-математической модели для формализованной арифметики. Добавим формулу - а к аксиомам формализованной арифметики. Полученная таким образом формализованная теория, в силу 11.2, является непротиворечивой.  [20]

Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом арифметики и, следовательно, принимается без доказательства. Допущение, что А ( п) верно для n k, называют индуктивным допущением или индуктивным предположением.  [21]

В 1900 г. на съезде математиков Гильберт в ряду других актуальных проблем поставил задачу, которая мало кому показалась актуальной. Речь идет о знаменитой второй проблеме Гильберта - доказать состоятельность системы аксиом арифметики. Система аксиом называется состоятельной, если она непротиворечива и полна. В свете теории Геделя следует сузить формулировку второй проблемы Гильберта и исследовать непротиворечивость системы аксиом арифметики вместо ее состоятельности. Если система непротиворечива, то она не полна. Последнее не означает, что такой системой аксиом нельзя пользоваться. Поскольку она непротиворечива, то все сделанные с ее помощью выводы справедливы для любых объектов, описываемых этой системой. Коль скоро необходимые выводы получены и цель исследования достигнута, исследователю совершенно не существенно то, что среди не относящихся к исследованию положений скрываются и недоказуемые.  [22]

Poincare, который выражал сомнения относительно возможности без petitio principii определить число 2, когда число аксиом арифметики заведомо более двух.  [23]

Задолго до описанных событий, а именно в 1931 г., было сделано не менее фундаментальное открытие. Математик Курт Гедель ( 1906 - 1978) доказал, что ни одна непротиворечивая система аксиом, включая систему аксиом арифметики, не может быть полной.  [24]

Так как совокупность всех действительных чисел является частью области всех комплексных чисел, то при установлении основных арифметических операций над комплексными числами мы должны потребовать, чтобы эти операции, будучи применены к действительным числам, давали в результате те же числа, какие получаются в арифметике действительных чисел. С другой стороны, если мы хотим, чтобы комплексные числа имели универсальное применение в вопросах анализа, мы должны потребовать, чтобы вводимые основные операции над ними удовлетворяли обычным аксиомам арифметики действительных чисел.  [25]

Нетрудно показать, что если дедуктивная система, в которой возможны доказательства от противного, содержит хотя бы одно противоречие, то в такой системе становится доказуемым любое утверждение. Математики-платоники, которые считают аксиомы арифметики истинными, а правила вывода правильными, не имеют таких хлопот, ибо считают, что никакие противоречия возникнуть не могут. Однако у чисто конструктивных формалистов таких гарантий не существует.  [26]

Несомненно, что утверждения вида Pfc ( fc), будучи полностью выписанными, были бы чрезвычайно громоздки и выглядели бы странно для числовых математических выражений. Однако за последнее время были выдвинуты сравнительно простые выражения приемлемого с точки зрения математики характера, которые эквивалентны утверждениям Геделя И. Они недоказуемы на основании обычных аксиом арифметики, однако же следуют из некоего свойства самоочевидности, которым обладает сама система аксиом.  [27]

Метод моделей позволяет только свести непротиворечивость одной системы аксиом к непротиворечивости другой. Однако в конце концов для какой-либо одной системы аксиом доказательство должно быть абсолютным. Для всей математики и для физики подобной системой является система аксиом арифметики. Но для этой цели в нашем распоряжении имеется только метод непосредственного доказательства, который должен, исходя из правил дедуктивного умозаключения, показать, что мы никогда не можем притти к двум противоречивым высказываниям. Предпосылкой для проведения этого доказательства служит предположение, что эти правила логической игры перечислены п о-л - ностью ( ср.  [28]

Следовательно, любое противоречие в евклидовой геометрии должно проявляться в виде какого-то противоречия в аксиомах арифметики, на которых основаны действия, производимые нами с действительными числами. Гильберт устанавливает полный и простой набор аксиом для действительных чисел. Система аксиом арифметики - так же, как система аксиом геометрии, - содержит части, которые можно изымать и заменять другими. С чисто алгебраической точки зрения самыми важными являются аксиомы, характеризующие ( коммутативное или некоммутативное) поле. Любое такое абстрактное числовое поле может служить основой для построения соответствующих геометрий. Vice versa24, числа и операции над ними можно ввести в терминах пространства, удовлетворяющего определенным аксиомам; прекрасный пример тому - Streckenrech - nung2 5, предложенное Гильбертом на основе теоремы Дезарга.  [29]

Как мы уже указывали в конце предыдущей главы, мы могли бы получить такое описание, присоединив к исчислению предикатов ( содержащему индивидуальные предикаты и предметы) некоторые новые аксиомы. Поэтому, прежде чем написать аксиомы арифметики, мы произведем дальнейшее расширение исчисления предикатов, введя в него новые; символы.  [30]



Страницы:      1    2    3