Cтраница 3
Прежде всего Гильберт предложил арифметически сформулировать понятие континуума, как оно дано в трудах Коши, Больцано и Кантора. Существует ли кардинальное число между числом, соответствующим счетному множеству, и числом, соответствующим континууму. Более того, что можно сказать относительно непротиворечивости аксиом арифметики. [31]
Если какому-нибудь понятию присвоены признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу: это понятие математически не существует. Если же удается доказать, что свойства, которыми обладает некоторое понятие, никогда не приведут с помощью конечного числа умозаключений к противоречию, то я скажу, что существование этого математического понятия, например, числа или функции, удовлетворяющего определенным условиям, доказано. В рассматриваемом случае, где речь идет об аксиомах арифметики вещественных чисел, доказательство непротиворечивости этих аксиом равносильно доказательству математического существования понятия вещественных чисел, или континуума. В самом деле, если удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображения, которые подчас приводились против существования понятия вещественных чисел, теряют всякое основание. Правда, понятие вещественных чисел, то есть континуума, представляет собой при вышеизложенной точке зрения не просто совокупность всех возможных законов, которым могут следовать элементы какого-либо фундаментального ряда, но систему элементов, взаимные соотношения между которыми устанавливаются системой аксиом и для которых справедливы все те, и только те положения, которые могут быть получены из этих аксиом конечным числом логических умозаключений ( цитируется по книге: Проблемы Гильберта. [32]
Построение заключалось в том, что мы указали систему объектов, условно назвав их точками и прямыми, и систему отношений между ними, для которых выполняются все утверждения, содержащиеся в аксиомах евклидовой геометрии. Вывод, что эти утверждения действительно верны, мы сделали на основании соответствующих теорем, относящихся к теории вещественных чисел. А так как эти теоремы в конечном счете выводятся из аксиом арифметики, то мы можем гарантировать построение декартовой реализации только при условии непротиворечивости системы аксиом арифметики. Таким образом, мы получаем решение вопроса о непротиворечивости системы аксиом евклидовой геометрии в следующей форме. [33]
В 1900 г. на съезде математиков Гильберт в ряду других актуальных проблем поставил задачу, которая мало кому показалась актуальной. Речь идет о знаменитой второй проблеме Гильберта - доказать состоятельность системы аксиом арифметики. Система аксиом называется состоятельной, если она непротиворечива и полна. В свете теории Геделя следует сузить формулировку второй проблемы Гильберта и исследовать непротиворечивость системы аксиом арифметики вместо ее состоятельности. Если система непротиворечива, то она не полна. Последнее не означает, что такой системой аксиом нельзя пользоваться. Поскольку она непротиворечива, то все сделанные с ее помощью выводы справедливы для любых объектов, описываемых этой системой. Коль скоро необходимые выводы получены и цель исследования достигнута, исследователю совершенно не существенно то, что среди не относящихся к исследованию положений скрываются и недоказуемые. [34]
Вопрос о независимости в буквальном смысле состоит в том, чтобы убедиться в невыводимости какого-то вполне определенного предложения proposition) из других предложений. Он, очевидно, предполагает, что предметом исследования являются сами предложения, а не те вещи, о которых в них говорится, и что мы предварительно полностью проанализировали логический механизм дедукции. Метод моделей позволяет чудесным образом обойтись без такого рода логических исследований. Но за уклонение от фундаментального решения проблемы приходится платить дорогой ценой: метод моделей просто сводит все к вопросу о непротиворечивости аксиом арифметики, оставляя его без ответа. Аналогичным образом, полнота, означающая в буквальном смысле, что каждое общее предложение о предметах, к которым относятся аксиомы, может быть разрешено путем построения вывода by inference) из аксиом, заменяется категоричностью ( О. Веблен), означающей, что любая мыслимая модель считается изоморфной той модели, с помощью которой установлена непротиворечивость. Именно в этом смысле Гильберт доказывает, что существует только одна декартова геометрия, удовлетворяющая всем его аксиомам. Веблена, - например, для проективной плоскости, состоящей из семи точек, - эта модель оказывается чисто комбинаторной схемой, и на вопросы о непроти-воречивости независимости и полноте получаются ответы, имеющие абсолютный смысл. [35]
Построение заключалось в том, что мы указали систему объектов, условно назвав их точками и прямыми, и систему отношений между ними, для которых выполняются все утверждения, содержащиеся в аксиомах евклидовой геометрии. Вывод, что эти утверждения действительно верны, мы сделали на основании соответствующих теорем, относящихся к теории вещественных чисел. А так как эти теоремы в конечном счете выводятся из аксиом арифметики, то мы можем гарантировать построение декартовой реализации только при условии непротиворечивости системы аксиом арифметики. Таким образом, мы получаем решение вопроса о непротиворечивости системы аксиом евклидовой геометрии в следующей форме. [36]
Сеть знаний, требующаяся для понимания геометрии, сплетена из примеров и явлений, а также наблюдений за сходствами и различиями между ними. В детстве не кажется очевидным, что такие сплетения упорядочены, подобно аксиомам и теоремам логической системы, или что ребе-лок мог бы воспользоваться такой конструкцией, если бы обладал ею. После того как явление понято, может иметь большое значение создание для него формальной системы для облегчения понимания более развитых предметов. Но даже в этом случае такая формальная система является всего лишь одной из многих возможных моделей; сочинители новой математики, по-видимому, путают свою акеиомно-теоремную модель с самой системой чисел. Я утверждаю, что в случае аксиом арифметики соответствующий формализм может принести больше жреда, чем пользы для понимания более развитых предметов. [37]
Существует ли, например, такая явная система постулатов о свойствах целых чисел ( вроде аксиом евклидовой геометрии), из которой чисто логически можно вывести все истинные теоремы о них. Объяснить точно содержание этой задачи не очень легко даже математику, который специально логикой не занимался. Трудность состоит в описании смысла слов все и вывести-сначала приходится построить целую теорию, формальную систему, внутри которой этими словами можно пользоваться как математическими терминами. Как бы то ни было, Гедель показал - вопреки некоторым ожиданиям - что ответ на поставленный вопрос отрицателен, полной системы аксиом арифметики нет. Причина же этого лежит в странных свойствах ауторе-ферентных высказываний, тех же, что и выше. Старинный парадокс лжеца ( лжет ли человек, говорящий я лгу. Такой конфликт можно имитировать внутри любой достаточно богатой формальной системы, и в рамках этой системы он окажется неразрешимым. [38]