Cтраница 3
РО может, в принципе, и совпадать с PoU ii такая переформулировка особенно употребительна для задания подсистем интересующих нас теорий, на аксиоматике которых по каким-либо причинам не хочется сосредоточивать внимание. В таких случаях описание аксиом теории начинают словами вроде аксиомами системы являются все теоремы исчисления высказываний, а также... [31]
Тем самым сведение общего случая к случаю, когда вывод осуществляется средствами элементарного исчисления, закончено. Остающееся утверждение о том, что всякая нумерическая формула, выводимая из аксиом системы ( S) средствами элементарного исчисления со свободными переменными, является истинной, получается просто ( аналогично рассуждению из гл. [32]
Как было показано в предыдущем параграфе, аксиома выбора влечет несколько не совсем приятных следствий, вроде теорем о существовании ( или, по выражению Лузина, о квазисуществовании) множеств со странными свойствами ( типа неизмеримости по Лебегу), вступающими в определенное противоречие с классическим понимавшем природы множеств. Было бы желательно иметь естественную по формулировке альтернативную аксиому, согласованную с аксиомами системы ZF, дающую АСщ в качестве следствия ( это необходимо, как мы видели, для доказательства основных свойств меры Лебега), но вместе с тем дающую противоположные по сравнению с полной аксиомой выбора следствия там, где следствия АС в той или иной степени нежелательны. [33]
Аристотель доказывает первый из этих законов при помощи так называемого выделения, которо-е основывается, как мы позже увидим, на логическом процессе, лежащем вне пределов силлогистики. И так как оно не может быть доказано другим путем, оно должно быть сформулировано в качестве новой аксиомы системы. Обращение посылок вида Л доказывается при помощи квадрата противоположностей, о котором в Первой аналитике вообще не упоминается. Поэтому мы должны принять в качестве четвертой аксиомы или этот закон обращения, или то положение квадрата противоположностей, из которого этот закон следует. Лишь закон обращения посылок вида / может быть доказан без новой аксиомы. [34]
Для каждого терма Ze без свободных переменных естественным образом определяется натуральное число - его значение. Формулу вида ( s) ( t) без свободных переменных назовем истинной или ложной в зависимости от того, равны ли значения левой и правой частей этой формулы или нет. Каждая аксиома системы Ze имеет один из двух видов: a) ( s) ( t) - истинная формула без свободных переменных или Ь) - 1 ( ( 5) - ( 0) гДе ( 5) ( 0 - ложная формула без свободных переменных. [35]
Пусть каждая из пар ( L, Я) и ( L7, Я7) состоит из простой алгебры Ли и ее максимальной торической подалгебры. По определению изоморфизм Ф - Ф индуцирован изоморфизмом Е - Е7 соответствующих евклидовых пространств, который не обязательно является изометрией. Однако аксиомы систем корней остаются справедливыми при умножении скалярного произведения в Е или Е7 на положительное вещественное число. Поэтому мы вправе считать, что изоморфизм Ф - Ф7 порожден изометрией евклидовых пространств. В свою очередь ф индуцирует изоморфизм тс: Я - Я7, если с помощью формы Киллинга отождествить пространства Я, Я7 с двойственными. [36]
Оно протекает по следующей схеме: 1) задаются нек-рые ( исходные) объекты определяемого класса; 2) задаются нек-рые правила, позволяющие из уже определенных объектов получать другие объекты определяемого класса; 3) объектами определяемого класса являются только те, к-рые получены согласно пп. S: всякая аксиома системы S является теоремой; если посылки какого-нибудь правила вывода системы S - теоремы, то заключение этого правила вывода также является теоремой. [37]
Заданием I, II, III исчерпывается задание формальной системы S как точного математич. S, в к-рой каждая формула либо является аксиомой системы S, либо непосредственно следует из к. [38]
Заданием 1 2 3 исчерпывается задание формальной системы ЭМ как точного математического объекта. При этом степень точности определяется уровнем точности задания алфавита, правил образования и правил вывода. Выводом системы ЭМ называется всякая конечная последовательность формул, в которой каждая формула либо является аксиомой системы ЭМ, либо непосредственно следует из каких-либо предшествующих ей этой последовательности формул по одному из правил вывода П системы. [39]
По лемме 4, может быть построено натуральное число / такое, что P 0 j имеет вид U ( kam), где П - аксиома системы Ze. Таким образом, построенное п и следует взять в качестве искомого. [40]
В результате анализа канторовсной теории множеств И связанных с ней парадоксов были построены различные системы аксиоматической теории множеств, в к-рых принимается то или иное ограничение на образование множеств, чтобы исключить возникновение известных антиномий. Вопрос о непротиворечивости достаточно богатых аксиоматич. Козна ( 1963) о независимости этих аксиом от аксиом системы Цермело - Френкеля ZF. Отметим, что эти две системы аксиом 2 и ZF равнонепротиворечивы. [41]
НЕДЕЗАРГОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия на плоскости, в к-рой Дезарга предложение может не иметь места. Теорема Дезарга не может быть доказана в плоскости на основе лишь проективных аксиом плоскости без привлечения аксиом конгруэнтности ( метрических аксиом) или без привлечения пространственных аксиом. Гильберта, за исключением аксиомы конгруэнтности треугольников, теорема Дезарга не может быть получена как их следствие. Геометрия этой плоскости является недезарговой, она не может рассматриваться как часть пространственной геометрии, в которой выполняются все аксиомы системы Гильберта, кроме указанной аксиомы конгруэнтности. [42]