Cтраница 4
Пусть v e Av является моделью для 3 - в булевой алгебре А. В силу 1.3 каждая логическая аксиома общезначима; в частности, общезначима в А. Поэтому v является моделью для любоЭ логической аксиомы. [46]
Грубо говоря, множество С () играет в формализованных теориях ту же роль, какую С ( 0) играет в дедуктивных системах. Поэтому с математической точки зрения не имеет значения, какое множество математических аксиом данной теории будет выбрано. Так же, как и в случае логических аксиом, причины предпочтения, оказываемого одному множеству математических аксиом перед другими, имеют обычно дидактический или методологический характер. Например, в качестве множества математических аксиом можно взять класс всех теорем теории, но практически такая процедура не применяется, ибо этот класс очень трудно описать, кроме тривиальных случаев. [47]
Пусть v е Л ( где Va обозначает множество всех пропозициональных переменных языка 3.0) - модель для 3 - в псевдобулевой алгебре А. В силу 2.5 каждая логическая аксиома интуиционистски общезначима; в частности, она общезначима в А. Значит, v - модель для каждой логической аксиомы. [48]
Грубо говоря, множество С ( з &) играет в формализованных теориях ту же роль, какую С ( 0) играет в дедуктивных системах. Поэтому с математической точки зрения не имеет значения, какое множество математических аксиом данной теории будет выбрано. Так же, как и в случае логических аксиом, причины предпочтения, оказываемого одному множеству математических аксиом перед другими, имеют обычно дидактический или методологический характер. Например, в качестве множества математических аксиом можно взять класс всех теорем теории, но практически такая процедура не применяется, ибо этот класс очень трудно описать, кроме тривиальных случаев. [49]
К металогическим аксиомам Пуанкаре причислял также принцип математической индукции, который можно сформулировать следующим образом: Пусть множество Z содержит число 1 и всегда содержит данное натуральное число лишь в том случае, если оно содержит предшествующие ему натуральные числа. Тогда множество Z содержит все натуральные числа. Ясно, что принцип математической индукции не входит в число логических аксиом, но если ввести так называемые индуктивные числа, то обойтись можно и без него. [50]