Cтраница 1
Нелогические аксиомы FIM делятся на группы. [1]
Описывая нелогические аксиомы теории, мы будем часто приводить незамкнутые формулы. В этом случае всегда имеется в виду, что следует взять замыкание рассматриваемых формул кванторами общности. [2]
О - Зух - у) является теоремой теории Z, и ее включение в качестве нелогической аксиомы теории Z не является необходимым. Подобно аксиомам теории Q, все аксиомы индукции истинны в стандартной интерпретации Af, и, следовательно, Z непротиворечива. Очевидно, Z является аксиоматизируемым расширением теории Q. Не будучи полной, теория Z тем не менее ввиду наличия аксиом индукции является значительно более сильной теорией, нежели Q: так, например, все предложения, перечисленные в упр. [3]
Из теоремы 5.1 и рассуждений выше следует, что всякая непротиворечивая ( составная) аксиоматическая теория Т, содержащая все нелогические аксиомы НА в качестве позитивных аксиом, имеет модель в только что указанном смысле. [4]
Предложения из А называются позитивными нелогическими аксиомами, а предложения из Б - негативными нелогическими аксиомами. [5]
А ( л:), то в получающейся в результате формуле А ( г) ни одно свободное вхождение какой-либо переменной в г не становится связанным вхождением. Далее, мы вводим множество нелогических аксиом, составляющих математическое содержание теории. [6]
Предложения из А называются позитивными нелогическими аксиомами, а предложения из Б - негативными нелогическими аксиомами. [7]
Классическая формальная арифметика FA есть по определению система FA ( 7) для случая, когда множество U пусто. Аксиома 4) при этом, естественно, исключается из списка ее нелогических аксиом, а в аксиомах 7) употребляются лишь описания, не содержащие аргументов для функций. Напомним, что кванторы для переменных по функциям в языке A ( Z7) отсутствуют. [8]
V, 3, если логическим исчислением служит исчисление предикатов; эти же символы и -, если логическим исчислением служит исчисление предикатов с равенством. Постулатами, помимо постулатов логического исчисления, служит конечное или бесконечное множество нелогических аксиом. [9]
А ( л:), то в получающейся в результате формуле А ( г) ни одно свободное вхождение какой-либо переменной в г не становится связанным вхождением. Далее, мы вводим множество нелогических аксиом, составляющих математическое содержание теории. Определения доказуемости и выводимости остаются без изменений, но объем самих этих понятий расширяется благодаря добавлению нелогических аксиом. [10]
Россер [1936] показал, что системы, аналогичные нашей арифметической системе гл. IV ( если они непротиворечивы) обладают этим свойством ( ср. Тогда формализованные системы аксиоматической теории множеств Неймана [1925], Бернайса [1937-54] и Геделя [1940] служат ( в случае непротиворечивости) примерами систем S, одновременно существенно неразрешимых ( так как они содержат обычную арифметику) и конечно аксиоматизуемых. Мостовский и Тарский [ 1949, резюме ] впервые отметили существование системы S, одновременно существенно неразрешимой и конечно аксиоматизуемой, и в то же время настолько простой, что ее легко можно интерпретировать в различных других теориях-в каком смысле, это будет вскоре определено. Еще более простым примером существенно неразрешимой и конечно аксиоматизуемой системы служит система Рафаэля Робинсона [ 1950, резюме ], которая содержит тринадцать нелогических аксиом, описанных в лемме 18Ь § 49, если в основу кладется исчисление предикатов, или только семь ( аксиомы 14, 15, 18 - 21 и формула из 137 или - эквивалентным образом-из 136), описанных Робинсоном, если в основу кладется исчисление предикатов с равенством. [11]