Cтраница 3
Из утверждения ( Ь) следует, что поле Е расщепляет алгебру А. Оно на-зываеся общим полем разложения алгебры F. Можно показать, что две алгебры кватернионов над полем F изоморфны тогда и только тогда, когда ассоциированные с ними общие поля разложения изоморфны как F-алгебры. На произвольные центральные простые алгебры она была обобщена Амицуром. [31]
В этом параграфе предполагается, что F - алгебраически замкнутое поле. Рассматриваемые алгебры являются конечномерными над F. Так как поле F совершенно, то алгебра такого типа сепарабельна в том и только том случае, если она полупроста. Согласно предложению 11.7, можно ограничиться рассмотрением алгебр вида А хЛ, где А полупроста, а N является мультипликативным Л - бимодулем. N обладает тривиальным умножением. Таким образом, классы изоморфизма конечномерных F-алгебр В с условием J ( S) 2 0 находятся во взаимно однозначном соответствии с классами изоморфизма пар ( Л, N), где Л является конечномерной полупростой алгеброй, a N - конечномерным Л - бимодулем, или, что эквивалентно, правым Ле-мо-дулем. [32]