Cтраница 1
Гедель ( 1939) показал, что если ZF непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. [1]
Гедель предложил называть предикат арифметическим, если он может быть явно выражен в терминах постоянных и переменных натуральных чисел, функций - - и -, равенства, операций -, & /, - исчисления высказываний и кванторов ( х) и ( Ех), комбинируемых согласно обычным синтаксическим правилам. [2]
Гедель доказал, что всякая непротиворечивая формализация арифметики неполна в том смысле, что всегда можно указать истинное арифметич. Гильберта на формализацию всей классич. Гедель показал также, что если формальная система арифметики непротиворечива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на языке арифметики, его нельзя доказать средствами этой же системы. Это-означает, что нет никакой надежды получить финитное доказательство непротиворечивости, если - относить к финитным только такие методы, к-рые не выходят за рамки методов, применяемых в формальных системах. [3]
Гедель предположил, что суждение теории чисел могло бы быть о суждении теории чисел ( возможно даже о себе самом), если бы сами числа могли обозначать суждения. Иными словами, в центре его построения находится идея кода. В этом коде, обычно именуемом Теделевой нумерацией, символы и последовательности символов обозначаются числами. Таким образом, любое суждение теории чисел, будучи последовательностью специальных символов, получает Геделев номер, что-то вроде телефонного номера или номерного знака машины. В дальнейшем, для ссылки на данное суждение используется соответствующий Геделев номер. С помощью этого кодирующего трюка суждения теории чисел приобретают двоякое значение; они могут быть поняты как суждения теории чисел, а так же как суждения о суждениях теории чисел. [4]
Гедель утверждает, что никакая достаточно мощная формальная система не может быть совершенна - то есть способна представить любое истинное высказывание в виде теоремы. Так же, как и в случае с патефонами, это кажется дефектом только тогда, когда мы предъявляем слишком высокие требования к возможностям формальных систем. [5]
Гедель же показал тщетность таких поисков и доказал алгоритмическую неразрешимость проблемы доказательства непротиворечивости арифметической логики. Таким образом, в своей теореме о неполноте Гедель показал, что существует бесконечное число проблем элементарной теории чисел, решение которых невозможно никаким данным аксиоматическим методом. [6]
Гедель ( 19И2, см. ( 1) показал, что интуиционистское ( конструктивное) исчисление высказываний нельзя задать на основе истинностных таблиц ни при каком конечном п; польский логик С. [7]
Гедель ( 1932, см. [6]) показал, что интуиционистское ( конструктивное) исчисление высказываний нельзя задать на основе истинностных таблиц ни при каком конечном га; польский логик С. Ясь-ковський ( 1936, см. [6]) предложил такое описание при ге 80 ( без подробного доказательства); осуществить построение конструктивного исчисления высказываний как счет-позначной логики высказываний удалось сов. [8]
Гедель ( 1939) показал, что если ZF - непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. [9]
Гедель [1930] для счетного языка X, Мальцев [1936] для несчетных языков. [10]
Гедель впервые доказал [ Гедель, 1932 ], что классическое исчисление предложений и классическая арифметика могут быть развиты как части соответствующих интуиционистских систем. [11]
Гедель показал, что средств рекурсивной арифметики вполне достаточно для математического построения такой модели и для ее формализации. Используемый им метод арифметизации состоит в арифметическом имитировании линейного расположения знаков в формулах формализованной математики. Действительно, логическую и математическую символику мы всегда можем выбрать таким образом, чтобы расположение символов и переменных в формулах было строго линейным. [12]
Геделем установлен следующий результат. [13]
Геделем, показавшим для сформулированной в 1930 г. Рейтингом системы аксиом интуиционистской логики, что не существует таблично построенной п-значной логики предложений, в которой были бы доказуемы все те и только те выражения, которые доказуемы в системе аксиом Рейтинга. [14]
Геделем было показано, что любая достаточно мощная аксиоматическая система ( классическая механика к таким системам относится) не может быть полной, т.е. она допускает истинное недоказуемое высказывание. [15]