Cтраница 2
Далее Гедель объясняет, что такая ситуация обусловлена отнюдь не какими-то специфическими особенностями двух упомянутых систем, но имеет место для обширного класса математических систем. [16]
Сначала Гедель доказал, что если ZF непротиворечива, то непротиворечива и ZF с добавленной к ней аксиомой конструктивности. Затем было показано, что аксиома конструктивности влечет за собой и аксиому выбора, и обобщенную континуум-гипотезу. Эти классические результаты принадлежат более теории множеств, нежели теории моделей, и поэтому лежат вне круга вопросов, рассматриваемых в этой книге. Мы изложим сформулированный выше результат так, чтобы обойтись минимумом сведений из теории множеств. [17]
Теорема Геделя показывает, что это соображение применимо и к формализмам, рассматриваемым в теории доказательств, причем даже в том случае, когда в основу рассмотрения кладется финитная точка зрения. Если к исходным формулам этого формализма добавить формулу 1 Ух ( ( х) 0), то полученный формализм Рг - в предположении, что в исходном формализме F действует дедукционная теорема) - будет обладать тем свойством, что с доказательством не противоречивости F будет получаться и его непротиворечивость. [18]
Теорема Геделя о неполноте [1931] гласит, что теория чисел неполна; поэтому полная теория чисел является собственным расширением теории чисел. [19]
Теорема Геделя и теория алгоритмов, Докл. Системы перечнслнмых множеств н их нумерации, Докл. [20]
Теорема Геделя - Россера является полностью финитной: ее доказательство ( если его привести полностью) показывает, как явно получить противоречие по доказательству какого-нибудь из утверждений т или - пт. [21]
Теорема Геделя демонстрирует, что такой подход в действительности не является логически состоятельным в рамках фундаментальной философии математики. Понятие математической истины выходит за пределы всей теории формализма. В этом понятии есть нечто абсолютное и данное свыше. И это как раз то, о чем трактует математический платонизм, обсуждаемый в конце предыдущей главы. Всякая формальная система имеет свойство сиюминутности и человеко-зависимости. Такие системы, безусловно, играют очень важную роль в математических рассуждениях, но они могут указывать только частично верное ( или приблизительное) направление к истине. Настоящая математическая истина выходит за пределы сотворенного человеком. [22]
Доказательство Геделя основано на использовании числового кода, позволяющего сопоставить каждой теореме дедуктивной системы единственное и очень большое целое число. [23]
Результаты Геделя применимы к любой дедуктивной системе, достаточно богатой для того, чтобы содержать арифметику. Даже в обычной арифметике существуют утверждения, которые истинны, но недоказуемы. [24]
Построение Геделя состоит из описания как формы, так и содержания строчек формальной системы, которую мы опишем в этой главе - Типографской Теории Чисел, Неожиданный поворот состоит в том, что при помощи хитроумного отображения, открытого Геделем, форма строчек может быть описана в самой формальной системе. [25]
Теорема Геделя и теория алгоритмов, Докл. Наоборот, в определении канонических исчислений по Посту ( см. Formal reductions of the general combinatorial decision problem, в жури. A, A накладываются нек-рые дополнительные ограничения, так что на первый взгляд определение представляется более узким, чем определение Лоренцена. [26]
Результаты Геделя ( верные не только по отношению к арифметике, но и ко всякой системе, содержащей арифметику натуральных чисел как свою часть - такова, напр. Черч, пользуясь методами, аналогичными геделевым, доказал неразрешимость проблемы разрешения как для теорий, содержащих арифметику натуральных чисел, так и для исчисления предикатов), имели важнейшее филос. [27]
Теоремы Геделя, указывая на предел возможностей финитизма, направили значит, часть последовавших за ними исследований по новому пути: не отказываясь от осн. Шютте ( 1951) для доказательства непротиворечивости классич. Еще раньше Гедель ( 1932 - 33) показал непротиворечивость классич. [28]
Теорема Геделя о неполноте имеет исключительно важное значение для оснований математики. [29]
Именно, Гедель поставил в соответствие буквам алфавита некоторые попарно различные натуральные числа и затем занумеровал слово тх... [30]