Cтраница 3
Паскаль и Ферма, геометры XVII столетия, по справедливости, считаются основателями науки о вероятностях. Первый вопрос, относящийся к этой науке, и довольно сложный, решен Паскалем. Вопрос, о котором говорим, был предложен Паскалю кавалером де Мере и состоял в следующем условии. Два игрока начали игру, состоящую из данного числа партий, положим 30-ти, розыгрыш каждой партии непременно выигрывается одним из игроков, и тот из них, кто выиграл бы прежде другого 30 партий, считался окончательно выигравшим и взял бы обе ставки, внесенные в начале игры. Внесенные ставки для безобидности, конечно, должны быть разделены между игроками так, чтобы тот, кому недостает до выигрыша большего числа партий, получил бы меньшую сумму, а противник его большую, именно безобидный раздел требует, чтобы каждый игрок получил часть внесенной суммы, пропорциональную вероятности своего выигрыша. Итак, нужно найти эту вероятность. [31]
Коши первый обратил внимание геометров на замечательное свойство некоторых дифференциальных уравнений с частными производными, состоящее в том, что все их решения аналитичны. [32]
Застывшее и однородное пространство геометра недостаточно; нужно еще подвижное и разнородное пространство физика. [33]
Германии и блистательная школа геометров ( Пеано, Веронезе) в Италии, В отношении экономии понятий Гильберт был более консервативен, чем итальянцы: он вполне сознательно следовал евклидовой традиции с ее тремя типами неопределяемых элементов - точками, прямыми, плоскостями - и отношениями между ними: инцидентности, порядка и конгруэнтности отрезков и углов. Это придает его книге особое очарование - вы как бы вглядываетесь в лицо, знакомое до мельчайших подробностей и в то же время облагороженное. [34]
Пуанкаре характеризует аналитиков и геометров, или логиков и интуиционистов, и приводит примеры того и другого типа. Но Эрмит путает ему все карты. [35]
Коши первый обратил внимание геометров па замечательное свойство некоторых дифференциальных уравнений с частными производными, состоящее в том, что все их решения ана-лптичны. [36]
Одним из важнейших открытий геометров девятнадцатого столетия были различные геометрии, равно имеющие право на существование. Под геометрией здесь понимается теория, описывающая свойства абстрактных точек и линий. До этого считалось, что геометрия - это система, кодифицированная Эвклидом; она могла иметь незначительные недостатки, которые могли быть со временем исправлены. [37]
Я полагаю, что геометрам доставит некоторое удовольствие, если в качестве приложения я здесь приведу решение задачи, также крайне достойной исследования, - задачи, которая пришла в голову пишущему эти строки в связи с расмотренным выше случаем. [38]
С тех пор, как геометры 1 занялись измерением жребия, все они утверждают: оценку ожидания получим, если умножим оценки отдельных ожидаемых значений на число тех случаев, когда они могут произойти, и сумму полученных произведений разделим на число всех возможных случаев; при этом предполагается, что рассматриваемые случаи являются в равной степени возможными. Если мы примем это правило, то дальнейшее развитие метода, очевидно, сводится к тому, чтобы перечислять вообще все мыслимые случаи, затем подразделять их по одинаковой степени возможности и в соответствии с этим классифицировать. [39]
Игрок эпохи Ренессанса Кардано, геометр Паскаль, адвокат Ферма, монахи Пор-Рояля и чиновники Ньюингтона, замечательный галантерейщик и человек с вывихнутыми мозгами, Даниил Вернул-ли и его дядя Якоб, скрытный Гаусс и многоречивый Кветеле, шутник фон Нейман и тяжеловесный Моргенштерн, набожный де Муавр и агностик Найт, немногословный Блэк и говорливый Шольц, Кеннет Эрроу и Генри Маркович - все они внесли вклад в изменение наших представлений о риске. Теперь риск - это не шанс проиграть, а возможность выиграть, не проявление сил РОКА и БОЖЕСТВЕННОГО ПРЕДНАЧЕРТАНИЯ, а изощренные, использующие теорию вероятностей методы прогнозирования будущего, не беспомощное ожидание, а сознательный выбор. [40]
После Нютона и Лейбница некоторые первостепенные геометры излагали начала Дифференциальнаго Исчисления по собственному воззрению. Иа основании этой мысли, Эйлер, в сочинении своем Institutiones Calculi differentlalis, определил Дифференциальное Исчисление способом, посредством котора-го определяются отношения исчезающих приращений, получаемых какими ни есть функциями, когда самым переменным, от которых сии функции зависят, приписывают исчезающий же приращения. [41]
Лагранж, а позднее и другие геометры рассматривали обе проблемы как один вопрос, требуя, чтобы функция V имела частный вид, а именно не зависела бы от времени, внося этим ограничение. Исключая это, повторяем, что проблема изопериметров и принцип наименьшего действия были для Лагранжа одним и тем же вопросом. [42]
Близкой системы изложения придерживается и советский геометр А. В. Погорелов, автор недавно изданных учебников [50] элементарной геометрии. Биркгофу, выдвигает на передний план понятие расстояния между точками, что сразу вводит в геометрию понятие числа; однако в ряде пунктов он отклоняется от принятой американскими авторами схемы, достигая большей геометричности, чем они. [43]
Основное предложение Штаудта особенно интересовало геометров с аксиоматической стороны ( в частности, этим вопросом занимались К. А. Андреев, А. К. Власов и др.), при этом было выяснено, что для строгого его доказательства необходимо введение аксиомы непрерывности. [44]
Замечательная книга Круг и шар известного немецкого геометра Вильгельма Бляшке ( 1885 - 1962) впервые появилась на свет в 1916 г. В 1956 г. эта книга была переиздана; однако произведенная автором для нового издания переработка текста была не слишком значительна и в этой и сегодня еще по-юношески свежей и живой книге сохранились некоторые следы ее почтенного возраста: так, например, автор иногда называет новыми задачи более чем полувековой давности и считает нерешенными проблемы, которые были таковыми разве лишь в 1916 г. ( см., например, подстрочное примечание) на стр. Кроме того, по инициативе редакторов несколько параграфов, содержащих второстепенный или дополнительный материал, напечатано мелким шрифтом. Наконец, редакторами составлен аннотированный список дополнительной литературы ( см. стр. [45]