Cтраница 2
В современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиоматикой Гильберта. Часто берут эквивалентную систему аксиом. Так, приведенная в следующей главе система аксиом отличается от системы Гильберта во второй и третьей группе. Преимущество ее заключается в том, что она позволяет проще и быстрее получить первоначальные геометрические факты, облегчающие изложение. Кроме того, она, как нам кажется, лучше описывает свойства основных геометрических объектов с точки зрения привычных представлений. [16]
Одним из основных положений геометрии Евклида яв-пяется пятый постулат, который можно сформулировать так: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Наконец, заметим, что в евклидовой геометрии кратчайшим расстоянием между двумя точками является отрезок прямой. [17]
В пространствах, не подчиняющихся геометрии Евклида, условие ( 5 1) также определяет кратчайшее расстояние между точками А ч В. Линия, ему соответствующая, называется геодезической. Она играет в неевклидовых геометриях такую же роль, как и прямая в евклидовой геометрии. [18]
Можно сказать: как над геометрией Евклида над-строились геометрии Лобачевского и Римана, гиперболическая и эллиптическая, так над ними теперь поднялась геометрия Римана в широком смысле этого слова. Эволюция идет и дальше, охватывая все более разнообразные множества, подчиняя геометрии все большее число своеобразных конкретных, иногда чисто материальных коллективов. [19]
В число аксиом, которые в геометрии Евклида принимаются без доказательств, входит и аксиома о параллельных линиях. [20]
В число аксиом, которые в геометрии Евклида принимаются без доказательств, входит и аксиома о параллельных линиях. Аксиому о параллельных линиях нередко называли темным пятном в гениальном труде Евклида. Не была также доказана полнота и непротиворечивость евклидовой геометрии. [21]
Так же, как и в геометрии Евклида, окружность может накладываться сама на себя и скользить по себе; на ней можно отложить равные дуги, и их меры пропорциональны их центральным углам. В евклидовой геометрии с помощью подобия доказывается, что длина дуги окружности пропорциональна радиусу, это уже не имеет места в геометрии Лобачевского. Более простым в этой геометрии является изучение дуг орициклов, потому что все орициклы накладываются друг на друга, и можно отложить на одном орицикле дугу, равную дуге другого орицикла. [22]
Как только Гильберту удалось аксиоматически обосновать геометрию Евклида и тем самым точно определить геометрические понятия, аксиоматика получила новое направление, которое, впрочем, было уже предопределено в Основаниях геометрии Гильберта. Важным намерением Гильберта было выяснить, насколько существенны различные аксиомы; что будет, если отказаться от той или иной аксиомы. [23]
В этом нет парадокса, поскольку из геометрии Евклида вытекает не истинность геометрии Лобачевского-Болиаи, а только ее непротиворечивость. Поясним, что непротиворечивость является свойством системы аксиом. Непротиворечивыми могут быть одновременно обе системы геометрии. [24]
Далее, можно установить обычные как для геометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского отношения порядка. Точка на прямой разбивает последнюю на две части. Две точки А, В прямой устанавливают порядок точек на прямой и определяют отрезок АВ. Прямая делит неевклидову плоскость ( под которой мы разумеем внутреннюю область овальной кривой ku) на две частя. [25]
Понятия точки, прямой и плоскости в геометрии Евклида первичны и потому - неопределяемы. Аналитическая геометрия дает определение этих понятий7, но никакого чуда при этом не происходит - первичные понятия отодвигаются в другую область. [26]
Ньютоновское пространство представляет собой трехмерное многообразие, подчиняющееся геометрии Евклида. [27]
В каких пределах в настоящее время доказана справедливость геометрии Евклида. [28]
Геометрические свойства реального физического пространства и времени соответствуют не геометрии Евклида, а геометрии Римана. [29]
С помощью аксиомы параллельности могут быть получены новые факты геометрии Евклида. [30]