Cтраница 3
В ньютоновской механике предполагается, что свойства пространства описываются геометрией Евклида, а ход времени одинаков во всех системах отсчета. В дальнейшем мы будем называть земной, или лабораторной, систему отсчета, жестко связанную с Землей. [31]
Эйнштейн показал, что, переходя в физическом пространстве от геометрии Евклида ( абстрактной геометрии) к физической геометрии, которой, согласно теории относительности, является геометрия Римана, мы получаем возможность исключить поле сил всемирного тяготения. Конечно, при этом система координат, в которой определяется положение материальной точки, не может быть прямолинейной системой декартовых координат. [32]
Так как на аффинной плоскости выполняются аксиомы связи и аксиомы порядка геометрии Евклида, то на ней имеют место и все следствия, вытекающие из этих аксиом. [33]
В другой работе Н. А. Глаголев [13] дает новую концепцию аксиом первой группы геометрии Евклида, сущность которой состоит в том, что аксиомам первой группы предпосылаются аксиомы принадлежности, введенные автором ранее для проективной геометрии; далее к этой же группе присоединяется аксиома параллельности в усиленной форме; в результате получается система проще гильбертовой системы, причем даже требование Розенталя о существовании одной точки на прямой ( вместо двух у Гильберта) становится излишним. [34]
Применимость векторов для удобства выражения физических соотношений в значительной степени основывается на геометрии Евклида. [35]
Лобачевский впервые построил геометрию, логически столь же безупречную, как и геометрия Евклида, и в то же время существенно отличную от нее, основанную на допущении аксиомы, противоположной евклидовой аксиоме о параллельных. Этим была разрушена наивная вера в евклидову геометрию как единственно возможную, независимую от действительного мира и его опытного познания, априорную геометрическую систему. [36]
Евклида на геометрию Лобачевского 56, так как установлено однозначное соответствие между геометрией Евклида и моделью, с одной стороны, и моделью и геометрией Лобачевского-с другой, выполняет критериальную функцию по отношению к геометрии Лобачевского, доказывая ее непротиворечивость. [37]
Была создана новая наука, охватывающая все вопросы метрической геометрии; старая же геометрия Евклида вошла в эту геометрию как простейший частный, можно сказать, как предельный ее случай. [38]
Ньютон полагал при этом, что свойства пространства полностью определяются системой аксиом и теорем геометрии Евклида. [39]
В настоящее время изучены многие физические явления, которые позволяют сделать вывод о границах применимости геометрии Евклида. Однако на этих расстояниях ( порядка 10 млрд. световых лет) должна начать проявляться неевклидо-вость пространства, если справедливы предсказания теории относительности. Есть все основания думать, что на расстояниях, меньших 10 - 16 м, геометрия Евклида продолжает быть справедливой, но неизвестно, до сколь малых расстояний. [40]
В настоящее время произведены многие измерения, на основе которых сделан вывод о границах применимости геометрии Евклида. [41]
Практический вывод отсюда такой: мы можем предварительно положить в основу наших представлений о пространстве геометрию Евклида. [42]
Лобачевский был первым, но не единственным геометром, заключившим о существовании геометрии, отличной от геометрии Евклида. [43]
Чтобы было понятно значение результатов, полученных Геделем, вспомним, что первой аксиоматической системой была геометрия Евклида ( III в. В основе евклидовой геометрии лежит совокупность определений и аксиом, отражающих простейшие геометрические свойства, подтвержденные многовековым человеческим опытом. [44]
В традиционном понимании неевклидова геометрия - это геометрия, формулируемая в точности так же, как геометрия Евклида, но за одним исключением: пятый постулат Евклида ( постулат о параллельных) в этой геометрии отрицается. Формулировка пятого постулата такова: Если две прямые пересекаются третьей прямой таким образом, что сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых углов, то эти прямые, если их продолжить, пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых углов. [45]