Cтраница 2
Итак, теория тяготения Эйнштейна утверждает, что геометрические свойства физического пространства и времени определяются геометрией Римана и проявляются в природе как поле тяготения. Введение риманова пространства, по Эйнштейну, обусловлено тензорным характером гравитации, поскольку именно метрический тензор этого пространства д ( х) описывает в полной мере гравитацию. [16]
Наконец, неевклидова геометрия в различных формах ее осуществления - то в виде геометрии Лобачевского, то в виде геометрии Римана в узком или широком значении этого слова, непосредственно внедрилась в существо новой механики и теоретической физики, получила здесь конкретное применение; она вышла из области абстракции, она сделалась новым звеном в области современного естествознания. [17]
Можно сказать: как над геометрией Евклида над-строились геометрии Лобачевского и Римана, гиперболическая и эллиптическая, так над ними теперь поднялась геометрия Римана в широком смысле этого слова. Эволюция идет и дальше, охватывая все более разнообразные множества, подчиняя геометрии все большее число своеобразных конкретных, иногда чисто материальных коллективов. [18]
Клейн в работе, известной под названием О так называемой неевклидовой геометрии, установил замечательную связь между евклидовой геометрией, геометрией Лобачевского и геометрией Римана в узком смысле. Сейчас мы рассмотрим эту связь. [19]
Эта идея Клейна позволила ему объединить, охватить единым подходом многие различные геометрии: евклидову, аффинную, проективную, гиперболическую геометрию Лобачевского, эллиптическую геометрию Римана и ряд других. [20]
Эйнштейн показал, что, переходя в физическом пространстве от геометрии Евклида ( абстрактной геометрии) к физической геометрии, которой, согласно теории относительности, является геометрия Римана, мы получаем возможность исключить поле сил всемирного тяготения. Конечно, при этом система координат, в которой определяется положение материальной точки, не может быть прямолинейной системой декартовых координат. [21]
Обычная геометрия Римана оказывается для - этого недостаточной; поэтому уже в 1918 г. В ей ль предложил новую геометрию, содержащую больше независимых величин, чем геометрия Римана, и потому дающую возможность истолковать геометрически не только гравитационное, но и электромагнитное лоле. [22]
Как мы указывали выше, свойство однородности галилеева пространства проявляется в преобразованиях, оставляющих без изменения выражение для четырехмерного расстояния между двумя точками. В общем же случае геометрии Римана преобразований, оставляющих без изменения величины g, не существует, ибо пространство Римана не однородно. [23]
При рассмотрении интерпретации Клейна геометрии Лобачевского было отмечено, что расстояние между двумя точками А и В плоскости Лобачевского в этой интерпретации равно логарифму ангармонического отношения четырех точек - двух данных и двух точек пересечения прямой АВ с абсолютом. Аналогичный результат имеет место и в геометрии Римана. И во всех трех геометриях угол между прямыми а и 6 измеряется логарифмом ангармонического отношения четырех прямых, из коих две это а и Ь, а две другие принадлежат пучку ab и абсолюту, как кривой второго класса. [24]
В отличие от других неевклидовых геометрий геометрия Римана переходила в евклидову в небольших областях пространства, таких, которые подвластны наблюдениям человека. [25]
Аналогично геометрии Лобачевского можно находить точки пересечения прямых с мнимым абсолютом и составлять сложное отношение четырех точек прямолинейного ряда и четырех прямых пучка. Таким путем может быть построена метрика геометрии Римана. [26]
Рассмотрим жизнь существ, чьей вселенной является поверхность шара. Эта вселенная не является точной иллюстрацией к геометрии Римана - Вселенной 2, но она проливает на нее некоторый свет и поясняет несколько логических положений. К тому же шар так хорошо знаком, что легко понять все рассуждения. [27]
Для этого необходимо сначала рассмотреть определение длины и основные положения общей геометрии Римана. Старые геометрии Болиаи и Лобачевского, отказываясь от евклидова постулата о параллельных прямых, сохраняли аксиому о свободном движении твердой системы точек ( аксиома конгруэнтности) и являлись, таким образом, геометриями пространства с постоянной кривизной. [28]
Примерно в то же время в самостоятельную геометрическую систему выделилась проективная геометрия; несколько позже была создана геометрия Римана. [29]
А В с абсолютом, ( ABPQ) - двойное отношение, Л - константа, одинаковая для всех отрезков. Если для измерения длин и углов используется линия второго порядка без действительных точек, то получается ( эллиптическая) геометрия Римана. Для построения евклидовой геометрии выбирают вырожденную линию второго порядка. После дополнения евклидовой плоскости несобственными элементами становится верным утверждение: любые две прямые пересекаются. [30]