Cтраница 3
При движении систем с неголономными связями символы Г с отличаются от символов Кристоффеля второго рода. Различие зависит от параметров вращения & с - Следовательно, геометрия пространства конфигураций для систем с неголономными связями отличается от геометрии Римана и является ее обобщением. [31]
Математическая предпосылка общей теории относительности - неэвклидова геометрия: геометрические системы ( см. ниже), в которых аксиома параллельных линий отлична от принятой в обычной геометрии. Риман ( 1826 - 1866) предложил ( первое сообщение в 1854 г.) новую неэвклидову геометрию, получившую название геометрии Римана, или эллиптической, в отличие от геометрии Лобачевского, или гиперболической. [32]
Ьго именем названы: римановы поверхности и многообразия, гипотеза Римана о нулях дзета-функции, матрица Римана, функция Римана, геометрия Римана. [33]
В период между 10 и 16 августа Эйнштейну стало ясно, что математическим аппаратом того, что мы сейчас называем общей теорией относительности, должна быть геометрия Римана. [34]
Разобранные в предыдущей главе автоморфные функции, как было показано, инвариантны по отношению к подстановкам, которые образуют прерывную группу движений евклидовой плоскости или сферы. При этом сферу можно рассматривать как изображение плоскости Римана при условии, что две диаметрально противоположные точки сферы представляют собой одну точку плоскости Римана и прямыми в геометрии Римана являются геодезические линии сферы, - то-есть ее большие окружности. [35]
Известно, что Начала Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом строго дедуктивного изложения геометрии. Лобачевского - Бояй, а затем геометрии Римана и в связи с пересмотром и перестройкой Основ математического анализа, предпринятого Больцано, Коши, Абелем, Гауссом и другими учеными, логическое построение Начал Евклида стало подвергаться критике. В системе построения было обнаружено много логических дефектов ( недостатков), часть которых была замечена еще в древности. Это касается в первую очередь основных понятий геометрии и евклидовых определений. [36]
Но мнение это быстро изменилось, когда он глубже вник в проблемы общей теории относительности, в которых существенным оказались как раз математические методы Минковского. Гроссмана, который впервые обратил его внимание на геометрию Римана. [37]
В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Таким образом, система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и части остальных аксиом. [38]
Открытие Лобачевского было подлинной революцией в математике, опровергшей распространенное мнение о том, что наши геометрические представления являются врожденными. Понятий приобретаются чувствами, врожденным не должно верить, - писал Лобачевский, обосновывая свою геометрию. Геометрия Лобачевского была первой неевклидовой геометрией: вторая неевклидова геометрия - эллиптическая геометрия Римана - была предложена в 1854 г. Бернгардом Риманом; в этой геометрии всякие две прямые на плоскости пересекаются, а сумма углов треугольника больше двух прямых. [39]
Благодаря выбору правильного выражения для потенциальной энергии можно было описать почти все явления, включая не только динамику твердых и упругих тел, но также динамику жидкостей и газов, равно как и электричество и магнетизм вместе с электронной теорией и оптикой. Кульминационный пункт этого развития был достигнут теорией относительности Эйнштейна, благодаря которой абстрактный принцип наименьшего действия вновь приобрел простое геометрическое истолкование, по крайней мере в той его части, которая зависит от кинетической энергии. В этих целях стало необходимо рассматривать время как четвертую координату ( как показано на рис. 15, где отсутствует одно из измерений пространства); движение тогда выражается линией в четырехмерном мире х, у, z, t, в котором справедлива неевклидова геометрия Римана. Отрезок этой линии между двумя точками как раз выражает кинетическую часть действия в принципе Гамильтона, а кривые, представляющие движение под действием гравитационных сил, суть геодезические линии четырехмерного пространства. Закон гравитации Эйнштейна, включающий в себя закон Ньютона как предельный случай, может быть также получен из экстремального принципа, при этом величина, которая должна принимать экстремальное значение, может быть истолкована как общее искривление пространственно-временного мира. [40]
В самом деле, если геометрия Лобачевского логически так же правильна, как и геометрия Евклида, то это означает, что с остальными постулатами Евклида одинаково совместны как V постулат, так и противоположное ему допущение. Иначе говоря, ни V постулат Евклида, ни постулат Лобачевского не представляют собой следствия из остальных постулатов, ни тот, ни другой не могут быть доказаны; приобщая к остальным постулатам V постулат Евклида, мы получаем геометрию Евклида ( параболическую геометрию), а приобщая постулат Лобачевского, мы получаем созданную им ( гиперболическую) геометрию. Чтобы получить геометрию Римана ( в узком смысле этого слова, эллиптическую геометрию), приходится внести еще и другие изменения во всю аксиоматику Евклида. [41]
Для этого необходимо сначала рассмотреть определение длины и основные положения общей геометрии Римана. Старые геометрии Болиаи и Лобачевского, отказываясь от евклидова постулата о параллельных прямых, сохраняли аксиому о свободном движении твердой системы точек ( аксиома конгруэнтности) и являлись, таким образом, геометриями пространства с постоянной кривизной. Изменения представлений о твердом теле, вносимые специальной и общей теорией относительности, привели к отказу от казавшейся до тех пор очевидной аксиомы конгруэнтности и к необходимости в основу рассуждений о пространстве и времени положить общую геометрию Римана. [42]
Пространство и время - понятия первичные. Простейшим понятием, относящимся к пространству и времени, является точка пространства, рассматриваемая в определенный момент времени. Чтобы отметить точку в пространстве, нужно поместить туда материальное тело достаточно малых размеров. Положение этого тела может быть задано только по отношению к другим материальным телам, ибо никакой вросшей в пространство и независимой от материальных тел градусной сетки не существует. В общем случае координаты суть вспомогательные величины, характеризующие расположение тел по отношению к базису и позволяющие вычислить, по законам евклидовой геометрии ( или ее обобщения - геометрии Римана), взаимное расположение тел, в частности их взаимные расстояния и углы между направлениями, их соединяющими. В качестве координат обычно берут прямолинейные прямоугольные координаты, ибо они проще всего связаны с длинами и расстояниями, но допустимы и всякие другие ( криволинейные) координаты, например, два угла, характеризующих направление на рассматриваемое тело-точку, и расстояние до него. [43]
В общем можно сказать, что специальная теория относительности не является трудом одного человека: она возникла в результате совместных усилий группы великих исследователей - Лоренца, Пуанкаре, Эйнштейна, Мин-ковского. Тот факт, что обычно упоминается только имя Эйнштейна, имеет известное оправдание, ибо специальная теория относительности была ведь только первым шагом к общей, которая охватила гравитацию и тем самым революционизировала весь труд Ньютона. Но общая теория относительности - это заслуга исключительно Эйнштейна. Она основывается на соединении мировой геометрии Минковского и глубоких идей об искривленных пространствах, которые задолго до того были развиты Бернхардом Риманом и продолжены Кристофелем, Ричи и Леви-Чи - вита. Общая теория относительности немыслима также и без работы Минковского, поэтому не без интереса можно спросить, что же Эйнштейн ценил у Минковского. В первое время, примерно к 1909 г., когда я познакомился с Эйнштейном, он был довольно уклончив и видел в работе Минковского не более чем излишний побочный математический труд. Но мнение это быстро изменилось, когда он глубже вник в проблемы общей теории относительности, в которых существенным оказались как раз математические методы Минковского. Возможно, этому содействовало влияние его друга Гроссмана, который впервые обратил его внимание на геометрию Римана. [44]