Внутренняя геометрия - поверхность
Cтраница 1
Внутренняя геометрия поверхности определяет V2 с определенно-положительной метрикой. [1]
Внутренняя геометрия поверхности определяет F3 с определенно-положительной метрикой. [2]
Внутренняя геометрия поверхности может быть построена как геометрия двумерного метрич. Это приводит к теории пространств общей теории относительности, в частности к Минковского пространствам. Если, наконец, отказаться и от квадратичной формы линейного элемента ds2, а рассматривать общую положительную однородную форму первой степени от dua, то получим Финслерово пространство. Еще более далеким обобщением внутренней геометрии поверхности является геометрия пространств со связностью данной группы, в частности геометрия пространств с аффинной связностью, проективной связностью и конформной связностью. [3]
Внутренняя геометрия поверхности может быть охарактеризована первой квадратичной формой поверхности. [4]
Гаусса по внутренней геометрии поверхностей, дал понятие линейного элемента ( дифференциала расстояния между точками многообразия), определив тем самым то, что называют теперь финслеровыми пространствами. Римана, характеризующиеся специальным видом линейного элемента, и развил учение об их кривизне. [5]
Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия, по существу, также освобождается от неразрывной связи с геометрией Евклида: то, что поверхность лежит в трехмерном евклидовом пространстве, является для этбй теории случайным обстоятельством. Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных многообразий. [6]
Наиболее общеизвестной задачей внутренней геометрии поверхностей является определение кривых наименьшей длины, соединяющих две заданные точки поверхности. [7]
Первая квадратичная форма поверхности характеризует внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Это означает, что с ее помощью можно производить измерения на поверхности. [8]
 |
Координатные векторы в точке М кривой и поверхности. [9] |
Первая квадратичная форма, определяя внутреннюю геометрию поверхности, не позволяет судить о форме самой поверхности. [10]
Первая квадратичная форма поверхности (7.8) характеризует внутреннюю геометрию поверхности - длины линий и углы между ними на поверхности. [11]
Эти свойства составляют содержание раздела геометрии, именуемого внутренней геометрией поверхностей. И они не имеют никакого отношения к тем различным характеристикам поверхностей, которые может различить наблюдатель, находящийся в1 окружающем пространстве и связанный с системой отсчета этого пространства. Две поверхности, например цилиндр и конус, представляются совершенно различными, если их рассматривать из окружающего пространства, и тем не менее их внутренние геометрии совершенно неразличимы, так как метрические свойства цилиндра и конуса могут быть описаны тождественными выражениями для квадрата элемента дуги. Если на каждой из этих двух поверхностей существует такая координатная система, что линейные элементы этих поверхностей характеризуются одними и теми же метрическими коэффициентами аар, то такие поверхности называются изометрическими. Поверхности цилиндра и конуса, очевидно, изометричны с евклидовой плоскостью, так как эти поверхности могут быть развернуты на плоскости без изменения длины элементов дуги и, следовательно, без изменения углов площади. [12]
Выше, в § 4, было дано определение внутренней геометрии поверхности как геометрии соответствующего метрического пространства. [13]
Если первая квадратичная форма дает элемент дуги, определяющий внутреннюю геометрию поверхности, то вторая квадратичная форма характеризует внешний вид поверхности и численно меняется при ее изгибании. [14]
Будем ее называть формальной полной кривизной, она принадлежит к внутренней геометрии поверхности. Естественно возникает вопрос, какой геометрический смысл имеет эта формальная кривизна. Поскольку рассмотрения, связанные с нормалями к поверхности, в данном случае исключены, величине К уже нельзя приписать смысла, связанного со сферическим отображением (5.28); ее нельзя интерпретировать и как произведение главных кривизн за отсутствием самих этих кривизн. [15]
Страницы: 1 2 3