Cтраница 3
В нем вводятся обе основные квадратичные формы поверхности, доказывается теорема об инвариантности полной кривизны относительно изометричных преобразований. Принципиальное значение этой работы заключается в установлении понятия внутренней геометрии поверхности. В середине и во 2 - й пол. Бианки и др. В этот период детально исследована внутренняя геометрия поверхности, получены условия наложимости поверхностей, основные теоремы об изгибаниях. [31]
ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕОРИЯ - раздел дифференциальной геометрии, в котором изучаются свойства поверхностен. Одна из основных задач классич. Совокупность фактов, получаемых при помощи измерений на поверхности, составляет внутреннюю геометрию поверхности. К внутренней геометрии поверхности относятся такие понятия, как длина линии, угол между двумя направлениями, площадь области, а также геодезич. [32]
Первая проявляется локально в том, что в данной точке поверхности все или некоторые ее нормальные кривизны отличны от нуля. Произведение наибольшей и наименьшей из этих кривизн называют гауссовой кривизной поверхности. Согласно теореме Гаусса, несмотря на внешнее определение, гауссова кривизна принадлежит внутренней геометрии поверхности и характеризует ее внутреннюю искривленность. [33]
Мы покажем, что некоторые из этих свойств могут быть исследованы независимо от пространства, заключающего в себе эту изучаемую поверхность, и что эти свойства связаны со структурой дифференциальной квадратичной формы для элемента дуги кривой, проведенной на поверхности. Все такого рода свойства поверхностей называются внутренними свойствами, а геометрия, основанная на изучении дифференциальной квадратичной формы, называется внутренней геометрией поверхности. [34]
ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕОРИЯ - раздел дифференциальной геометрии, в котором изучаются свойства поверхностен. Одна из основных задач классич. Совокупность фактов, получаемых при помощи измерений на поверхности, составляет внутреннюю геометрию поверхности. К внутренней геометрии поверхности относятся такие понятия, как длина линии, угол между двумя направлениями, площадь области, а также геодезич. [35]
Раздел теории поверхностей, в к-ром изучаются свойства фигур на поверхности, зависящие только от измерения длин кривых на поверхности, наз. Так как длины кривых определяются первой квадратичной формой, то речь идет о таких свойствах, к-рые связаны только с первой квадратичной формой. В частности, объектами внутренней геометрии поверхностей являются длины кривых, углы между кривыми, площадь и гауссова кривизна. Важным понятием внутренней геометрии поверхности является понятие геодезической линии. [36]
Совокупность тех свойств поверхности, которые не меняются при ее изгибании, называется внутренней геометрией поверхности. Мы сейчас показали, что две поверхности изгибаемы друг в друга в том и только том случае, если на них можно ввести одну и ту же первую квадратичную форму. Следовательно, к внутренней геометрии поверхности относятся те и только те ее свойства), которые могут быть выражены через первую квадратичную форму. Таким образом, внутренняя геометрия поверхности определяется ее первой квадратичной формой. К внутренней геометрии поверхности относятся, следовательно, длины линий, лежащих на поверхности. [37]
Внутренняя геометрия поверхности может быть построена как геометрия двумерного метрич. Это приводит к теории пространств общей теории относительности, в частности к Минковского пространствам. Если, наконец, отказаться и от квадратичной формы линейного элемента ds2, а рассматривать общую положительную однородную форму первой степени от dua, то получим Финслерово пространство. Еще более далеким обобщением внутренней геометрии поверхности является геометрия пространств со связностью данной группы, в частности геометрия пространств с аффинной связностью, проективной связностью и конформной связностью. [38]
Условия совместности в форме Адамара записаны в лагранжевых переменных. Геометрический и кинематический смысл этих производных сразу не очевиден. Томас [238] использовал понятия внутренней геометрии поверхности фонта волны, при этом условия совместности записаны им в эйлеровых переменных. В [178] при выводе условия совместности в лагранжевых переменных учитываются соображения, развитые Томасом. Следует отметить, что лагранжевы переменные в ряде случаев предпочтительнее эйлеровых. Ниже приводится условие совместности в переменных Лагранжа. [39]
В этом нетрудно наглядно убедиться, если начертить на листе бумаги произвольные линии Я фигуры и произвести какое-либо изгибание плоского листа, свернув его, например, в цилиндр. Все такие свойства, не изменяющиеся при изгибании поверхности, были названы внутренними свойствами поверхности. Эти свойства связаны с самой структурой поверхности и отличны от тех, которыми она обладает как поверхность, вложенная в евклидово трехмерное пространство. Исключительным достижением Гаусса является именно открытие того факта, что, помимо обычной геометрии, изучающей форму поверхности так, как она нам представляется извне, существует более глубокая, внутренняя геометрия поверхности, изучающая самые существенные, внутренние ее свойства. [40]
Лобачевским было отвергнуто априорное представление о пространстве, господствовавшее ранее в математике и философии. Он открыл, что возможны пространства, отличные от евклидова. Riemann) своей лекцией О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии заложил основы римановой геометрии, к-рая в применении к многомерным многообразиям находится в таком же отношении к геометрии гс-мерного пространства, как внутренняя геометрия поверхности к евклидовой геометрии на плоскости. [41]
Совокупность тех свойств поверхности, которые не меняются при ее изгибании, называется внутренней геометрией поверхности. Мы сейчас показали, что две поверхности изгибаемы друг в друга в том и только том случае, если на них можно ввести одну и ту же первую квадратичную форму. Следовательно, к внутренней геометрии поверхности относятся те и только те ее свойства), которые могут быть выражены через первую квадратичную форму. Таким образом, внутренняя геометрия поверхности определяется ее первой квадратичной формой. К внутренней геометрии поверхности относятся, следовательно, длины линий, лежащих на поверхности. [42]
В нем вводятся обе основные квадратичные формы поверхности, доказывается теорема об инвариантности полной кривизны относительно изометричных преобразований. Принципиальное значение этой работы заключается в установлении понятия внутренней геометрии поверхности. В середине и во 2 - й пол. Бианки и др. В этот период детально исследована внутренняя геометрия поверхности, получены условия наложимости поверхностей, основные теоремы об изгибаниях. [43]
Бернулли поставил задачу, которую можно считать первой дифференциально-геометрической задачей: каковы кривые на данной поверхности, на которых реализуется минимум расстояния ( по поверхности) между двумя заданными точками. Уравнения геодезических линий на любой поверхности были написаны Эйлером и Лагранжем в 1770 - х гг. Тогда же Эйлер указал формулу для распределения кривизны нормальных сечений, а также определил все поверхности, наложимые на плоскость. Линии кривизны и асимптотические линии были введены Монжем в трактате Приложения анализа к геометрии ( 1795); Дюпен и Менье, имена которых связаны с кривизной кривых на поверхности - ученики Монжа. В ней введены обе основные квадратичные формы, полная кривизна ( с помощью сферического отображения) и доказана теорема об ее инвариантности при изгибании. Принципиальное значение имеет введенное Гауссом понятие внутренней геометрии поверхности как совокупности ее свойств, не меняющихся при изгибании. Гаусс нашел и внутреннее описание кривизны через сумму углов геодезического треугольника. [44]
Во-вторых, сфера топологически эквивалентна трубке и значит даже с топологии, точки зрения отличается от плоскости Лобачевского. Плоскость проводится так, чтобы она не содержала ребра возврата. В качестве U берется та часть псевдосферы, где ребра возврата нет. Далее рассматривается только U, к-рую для простоты также наз. Пусть U - - универсальная накры нающая псевдосферу V поверхность. Это понятие можно наглядно ввести следующим образом. Так получится связная поверхность U, к-рая и является универсальной накрывающей поверхности U, она иногда наз. Универсальную накрывающую можно построить для любой поверхности, но наглядное описание ее конструкции будет далеко не так просто, как для псевдосферы. Важно также, что на универсальную накрывающую можно перенести локальную внутреннюю геометрию накрываемой поверхности. [45]