Cтраница 2
Выражение внутреннее уравнение движения, таким образом, вполне созвучно термину внутренняя геометрия поверхности в дифференциальной геометрии. [16]
Уметь строить дифференциалы длин дуг кривых на поверхности - это и значит определить внутреннюю геометрию поверхности. [17]
Совокупность тех свойств поверхности, которые не меняются при ее изгибании, называется внутренней геометрией поверхности. Мы сейчас показали, что две поверхности изгибаемы друг в друга в том и только том случае, если на них можно ввести одну и ту же первую квадратичную форму. Следовательно, к внутренней геометрии поверхности относятся те и только те ее свойства), которые могут быть выражены через первую квадратичную форму. Таким образом, внутренняя геометрия поверхности определяется ее первой квадратичной формой. К внутренней геометрии поверхности относятся, следовательно, длины линий, лежащих на поверхности. [18]
В свете сказанного ясно, что понятие параллельного перенесения вектора вдоль линии принадлежит к внутренней геометрии поверхности и не зависит от изгибания. [19]
ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА, метрич е-ская форма, поверхности - квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, к-рая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. [20]
Сжатый обзор всех ранее опубликованных геометрических работ Эйлера дал - Делоне ( 1958), подробно остановившись на парадоксе Крамера, вопросах топологии, внутренней геометрии поверхностей и картографии. Различные виды геометрических преобразований, применявшихся Эйлером ( в том числе движения в пространстве и их связь с кватернионами и конформные преобразования) изучал Б. А. Розенфельд ( 1957); конформные преобразования у Эйлера рассмотрены были также в книгах А. И. Маркушевича ( 1951) и С. Е. Белозерова ( 1962), названных далее. [21]
В этой и следующих главах мы в достаточной степени детально изложим основы тензорного анализа для римановых многообразий двух измерений, которые можно реализовать в виде поверхностей трехмерного евклидова пространства. Мы познакомимся с некоторыми понятиями и величинами, которые характеризуют внутреннюю геометрию поверхности. [22]
Успехи начертательной геометрии были непосредственно связаны с прикладными задачами составления чертежей машинного оборудования, зданий и сооружений промышленного, транспортного и бытового характера. Необходимо также упомянуть о работах известного математика Карла-Фридриха Гаусса ( 1777 - 1855) по внутренней геометрии поверхностей. [23]
Если известна первая квадратичная форма поверхности, то можно, даже не располагая уравнением поверхности и не зная ее формы, решать целый ряд относящихся к ней задач, например находить длины лежащих на ней кривых и углы между ними, вычислять площадь частей поверхности. Совокупность всех свойств поверхности, которые можно установить, исходя из одной лишь первой квадратичной формы, называется внутренней геометрией поверхности. [24]
По поручению правительства Ганноверского королевства Гаусс с начала 20 - х годов прошлого столетия на протяжения 6 - 7 лет усердно занимался геодезическими измерениями и исследованиями. Последние привели Гаусса к опубликованию среди других и важнейшего его труда по дифференциальной геометрии - Общие исследования - относительно кривых поверхностей ( 1827), в котором было положено начало новой, так называемой внутренней геометрии поверхностей, на которой следует остановиться несколько подробнее. [25]
Пусть F-поверхность и X, У - точки на ней; за расстояние рр ( XY) между X и У на F принимается точная нижняя граница длин кривых, соединяющих на F точки X и У. Если каждая пара точек на F соединима кривой конечной длины, то расстояние рр ( Х К) определено для всех пар X, У: на поверхности F определяется ее внутренняя метрика & и F превращается в метрическое пространство. Внутренняя геометрия поверхности F определяется как теория этого метрического пространства вне зависимости от того факта, что оно представляется поверхностью в каком бы то ни было объемлющем пространстве. [26]
В теории поверхностей М3 вводится оснащение поверхности с помощью нормализующих кругов, ортогональных в каждой точке всем касательным сферам поверхности; связывается с каждой точкой конформный репер, состоящий из точки поверхности ж, двух координатных сфер у /, il, 2, определяющих нормализующий круг, касательной в точке ж сферы и точки X пересечения этой сферы и нормализующего круга. В общей теории нормализации поверхностей используется изоморфизм теории нормализованных поверхностей конформного пространства и теории внутренних полярных нормализации абсолюта гиперболич. Внутренняя геометрия нормализованной поверхности М есть геометрия Вейля, основной тензор к-рой совпадает с тензором угловой метрики поверхности, а дополнительный тензор есть нормализатор, определяющий опорные координатные сферы. [27]
Совокупность тех свойств поверхности, которые не меняются при ее изгибании, называется внутренней геометрией поверхности. Мы сейчас показали, что две поверхности изгибаемы друг в друга в том и только том случае, если на них можно ввести одну и ту же первую квадратичную форму. Следовательно, к внутренней геометрии поверхности относятся те и только те ее свойства), которые могут быть выражены через первую квадратичную форму. Таким образом, внутренняя геометрия поверхности определяется ее первой квадратичной формой. К внутренней геометрии поверхности относятся, следовательно, длины линий, лежащих на поверхности. [28]
Раздел теории поверхностей, в к-ром изучаются свойства фигур на поверхности, зависящие только от измерения длин кривых на поверхности, наз. Так как длины кривых определяются первой квадратичной формой, то речь идет о таких свойствах, к-рые связаны только с первой квадратичной формой. В частности, объектами внутренней геометрии поверхностей являются длины кривых, углы между кривыми, площадь и гауссова кривизна. Важным понятием внутренней геометрии поверхности является понятие геодезической линии. [29]
Евклида; 3) сфера представляет собой поверхность постоянной положительной кривизны. Бельтрами первый заметил связь между внутренней геометрией поверхностей постоянной отрицательной кривизны и геометрией Лобачевского. [30]