Cтраница 1
Герполодия не имеет точек перегиба. Пусть Р есть основание перпендикуляра, опущенного из неподвижного центра О на неподвижную плоскость ( Р), на которой мгновенный полюс / описывает герполодию. [1]
Герполодия, как мы сейчас увидим, является кривой трансцендентной. [2]
Поэтому герполодия заключена между двумя концентрическими окружностями. В зависимости от длины дуги полодии герполодия может оказаться как замкнутой, так и незамкнутой кривой. В последнем случае она заметет всюду плотно кольцо между окружностями максимального рм и минимального р п радиуса. В частных случаях D А или D С полодия и герполодия обращаются в точку. [3]
Уравнения герполодии нельзя получить в конечной форме, аналогичной уравнениям полодии, которые не требуют интегри-рова ния дифференциальных уравнений движения твердого тела вокруг неподвижной точки. [4]
Ось конуса герполодии или неподвижного аксоида совпадает с вектором 6, а образующие этого конуса представляют собой геометрическое место мгновенных осей вращения гироскопа ( вектор Q) в абсолютном пространстве. Ось конуса полодии, или подвижного аксоида, совпадает с осью z фигуры гироскопа, а образующие этого конуса представляют собой геометрическое место мгновенных осей вращения гироскопа в теле гироскопа. Таким образом, конус полодии можно представить жестко соединенным с телом гироскопа, а его качение без скольжения с постоянной угловой скоростью и вокруг неподвижного в абсолютном пространстве конуса герполодии представляет собой свободную регулярную прецессию гироскопа. [5]
Пуансо дал рисунок герполодии, на котором эта кривая изображена с точками перегиба, лежащими между двумя последовательными точками касания с каждой из указанных окружностей. Позднее было доказано, что если движущийся эллипсоид есть эллипсоид инерции, то кривая не может иметь точек перегиба. [6]
Только одна часть этой герполодии будет в действительности описываться; это та ее часть, которая идет от начального положения от0 полюса до точки Р в том или другом направлении. Время, нужное для того, чтобы полюс пришел в положение Р, бесконечно, несмотря на то, что длина спирали конечна, так как она равна периметру катящегося эллипса. [7]
Полученное уравнение определяет радиус-иектор герполодии как функцию времени. [8]
Так как полодия катится по герполодии без скольжения, то соответствующие дуги обеих кривых имеют одинаковые длины. [9]
Отметим без доказательства, что герполодия не имеет ни точек перегиба, ни точек возврата и всегда обращена вогнутостью в сторону точки Q, в которой вектор кинетического момента KQ пересекает плоскость Пуансо тт. [10]
А В, полодия и герполодия обращаются в окружности. [11]
Таким образом, можно построить герполодию и проверить, что она не имеет точек перегиба, для чего нужно вычислить радиус кривизны в функции р и доказать, что он никогда не обращается в бесконечность. Этот результат вытекает из неравенства АВ - - С, связывающего три момента инерции. [12]
Вектор л представляет собой радиус-вектор точки герполодии, проведенный из начала К. [13]
Соединив прямыми точки полодии и точки герполодии с точкой опоры О, получим две конические поверхности. Одна коническая поверхность жестко связана с вращающимся телом. Она называется конусом полодии. Другая неподвижна в пространстве и называется конусом герполодии. Обе поверхности касаются друг друга вдоль прямой, совпадающей с мгновенной осью вращения. [14]
Это одновременно есть уравнение поверхности конуса герполодии в параметрической форме. [15]