Cтраница 3
Разумеется, если кольцо R коммутативно, то отображение У оказывается гомоморфизмом колец и никаких затруднений пе возникает. Том самым еще раз показано, что для коммутативного кольца разницы между правыми и левыми модулями нет. [31]
Тогда ясно, что наше отображение А В - С является гомоморфизмом колец. [32]
Пусть ф: G-G - гомоморфизм моноидов и /: А-А - гомоморфизм колец, причем оба кольца А, А коммутативны. [33]
Точно так же под представлением произвольного кольца о над полем К понимается гомоморфизм колец а - А, где А - вновь линейное преобразование л-мерного векторного пространства. Еще тогда было показано, что каждому представлению кольца о над полем К соответствует двойной модуль ЭЛ ( на который о действует слева, а К - справа), названный модулем представления, и наоборот; каждый такой модуль представления задает некоторое представление. Изоморфным модулям представления соответствуют эквивалентные представления, и наоборот. Представление называется приводимым, если модуль представления обладает собственным ненулевым подмодулем, и неприводимым, если соответствующий модуль представления прост. [34]
Точно так же под представлением произвольного кольца о над полем К понимается гомоморфизм колец а - Л, где А - вновь линейное преобразование и-мерного векторного пространства. Еще тогда было показано, что каждому представлению кольца о над полем К соответствует двойной модуль ЗЛ ( на который о действует слева, а К - справа), названный модулем представления, и наоборот; каждый такой модуль представления задает некоторое представление. Изоморфным модулям представления соответствуют эквивалентные представления, и наоборот. Представление называется приводимым, если модуль представления обладает собственным ненулевым подмодулем, и неприводимым, если соответствующий модуль представления прост. [35]
Заметим, что если G - произвольная коммутативная группа и Ф - гомоморфизм кольца R в кольцо - Нот 2 ( 6 6), то, полагая хг хФ ( г) для любых ж е G и г е Я, мы, как легко проверить, превращаем G в правый й-модуль. Тем самым установлена тесная связь между правыми Я-модулями и гомоморфизмами кольца R в кольца эндоморфизмов коммутативных групп. [36]
Пусть А - нетерово кольцо и р: А - В - сюръективный гомоморфизм колец. [37]
Пусть А - - нетерово кольцо и р: А - В - сюръективный гомоморфизм колец. [38]
Следовательно, если кольцо R не коммутативно, то отображение 4f не является гомоморфизмом колец. [39]
Пусть ср: G-G - гомоморфизм моноидов и f: A - A - гомоморфизм колец, причем оба кольца А, А коммутативны. [40]
В этой главе мы изучим вложения колец в тела или, более общо, гомоморфизмы колец в тела. В случае коммутативного кольца такие гомоморфизмы могут быть полностью описаны с помощью простых идеалов; как мы увидим ниже, аналогичное описание имеет место и в общем случае. [41]
Все кольца предполагаются коммутативными и с единицей, если не оговорено противное, а все гомоморфизмы колец и все модули - унитарными. [42]
Выведенные формулы показывают, что ср7 - гомоморфизм, и легко убедиться, что это единственный гомоморфизм кольца г в поле V, продолжающий гомоморфизм ср. [43]
При этом отображение р-р ( Л) кольца многочленов во множество Л сохраняет операции; это гомоморфизм кольца, и кольцо Ж коммутативно. [44]
А конечных элементов является подкольцом в К, а отображение /: A - L - гомоморфизмом колец. [45]