Cтраница 2
Ясно, что к ласс Л - модулей образует категорию, морфизмами в которой служат гомоморфизмы модулей, обычно называемые просто гомоморфизмами, если это не приводит к путанице. Когда желают явно указать кольцо А, то говорят, что / является А-гомоморфизмом, или также, что / - А-линейное отображение. [16]
Ясно, что к ласс Д - модулей образует категорию, морфизмами в которой служат гомоморфизмы модулей, обычно называемые просто гомоморфизмами, если это не приводит к путанице. Когда желают явно указать кольцо А, то говорят, что / является А-гомоморфизмом, или также, что / - А-линейное отображение. [17]
Q - - Q - некоторый гомоморфизм, то существуют такой правый Л - модуль М и такие гомоморфизмы модулей к: Q - - M, ф: М - - Р, ф: М - - М, что получающаяся диаграмма вида ( 1) коммутативна и имеет точные строки. [18]
Если i); - естественный гомоморфизм модуля В на фактор-модуль В / С, а х - нулевой гомоморфизм модуля В в В / С, то фх 5 фх - Отсюда, поскольку ф - эпиморфизм, получаем v) x, что возможно лишь при В С. [19]
А, В, С, D - модули, а ф, ip, , р, а - гомоморфизмы модулей, называются коммутативными, если Ф1р per и Фх Ф соответственно. [20]
Из аксиом модуля следует, что отображение /: : А - М, переводящее а в т а, есть гомоморфизм модулей, причем, так как / га0 - образующий, 1т / УИ. [21]
А, В, С, D - модули, а ф, if, %, р, о - гомоморфизмы модулей, называются коммутативными, если Фф ра и фх tf соответственно. [22]
Доказать, что модуль Q инъективен, если каждый Л - модульный гомоморфизм правого идеала алгебры Л в Q продолжается до гомоморфизма модуля АА в Q. [23]
Доказательства сводятся к проверке того, что все гомоморфизмы, с которыми мы имели дело, занимаясь абелевыми группами, являются теперь Л - гомоморфизмами модулей. Эту проверку мы предоставляем читателю. [24]
СОПРЯЖЕННЫЙ МОДУЛЬ, двойственный м о д у л ь, д у а л ь и ы и м о д у л ь, - модуль гомоморфизмов модуля в основное кольцо. [25]
Как мы знаем из лекции 1.8, группа лп 1 ( Х, А), подобно группе ппА, является л Л - модулем ( при п1, вообще говоря, скрещенным), а гомоморфизм д: п 1 ( Х, А) - - ппА - гомоморфизмом модулей. [26]
Но элемент а лежит во всех максимальных модулярных левых идеалах кольца с. Это отображение является гомоморфизмом модулей. [27]
Следовательно, можно считать, что цАг является гомоморфизмом модуля Э) 1А е модуль ЗЛг. Гомоморфизмы цАг, входящие в ( 4), - всего их п2 - можно выбирать произвольно; при этом их сумма всегда будет некоторым эндоморфизмом i и каждый эндоморфизм ц можно получить таким способом. [28]
Лемма b доставляет способ построения всех б-модулей, исходя из набора векторных пространств и линейных отображений менаду некоторыми из этих пространств. Естественно задать вопрос, как выражаются в этом контексте гомоморфизмы модулей. [29]
Если заданы два гомоморфизма / ь f2: M - - N, то их сумма, определяемая формулой ( / i / 2) M / i () 4 - / 2 ( m), снова будет гомоморфизмом Л - модулей. Это сложение задает на множестве Нот ( М, N) всех гомоморфизмов модуля М в N строение абелевой группы. [30]