Cтраница 3
Пусть А - кольцо и X, X - Л - модули. Мы обозначаем через НотА ( Х, X) множество Л - гомоморфизмов модуля X в X. Тогда НотА ( Х, X) есть абелева группа, причем закон сложения - это закон сложения отображений в абелеву группу. [31]
Условие ( i) из определения тензорного произведения при этом выполняется ввиду того, что пары ( и, v) порождают модуль F ( My ( N), так что их образы u v порождают М N. Поскольку модуль F ( My N) является свободным модулем на множестве М X N, существует продолжение г э отображения Ф до гомоморфизма модуля F ( MX. Ввиду билинейности Ф все элементы вида ( 5) лежат в Кегф. [32]
Но элемент а лежит во всех максимальных модулярных левых идеалах кольца о. Поэтому достаточно показать, что 8 либо равно с, либо является модулярным и максимальным идеалом в о. При фиксированных b и 8 каждому элементу к кольца о соответствует некоторое произведение xb и, следовательно, вполне определенный класс вычетов xb - - 1 по модулю И. Это отображение является гомоморфизмом модулей. [33]
Пусть 6: М - - Ме - гомоморфизм конечно порожденных В-модулей. Тогда Q ( MeL) Q ( M) ei s M ei, так что ограничение Qi Q Mi является линейным отображением из Mt в Mft. Кроме того, 0п 6 / 1 - Мп отображает Mtl в М п, поэтому б; индуцирует линейное отображение 6го: MiQ - - MfiQ. Обратно, любая система линейных отображений, удовлетворяющая этому условию перестановочности, приводит к гомоморфизму модулей. [34]